2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版选修2-1.doc

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1、2．3．2　双曲线的简单几何性质　1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴、虚轴等)．　2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．　3．掌握标准方程中a，b，c及离心率e间的关系．　4．了解直线与双曲线相交的相关问题．1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

2、F1F2

3、＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a

4、，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±x(1)已知双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，可知双曲线的渐近线方程：令1为0可得－＝0⇒y＝±x，这样便于记忆．(2)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝．判断(正确的打“√”，

5、错误的打“×”)(1)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　　)(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝．(　　)(3)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　　)(4)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)A．3x±4y＝0B．4x±3y＝0C．9x±16y＝0D．16x±9y＝0答案：A中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)A．－＝1B．－＝1或－＝1C．－＝1D．－＝1或－＝1答案：B双曲线

6、－＝1的焦点坐标为________，离心率为________．答案：(±7，0)　探究点1　双曲线的几何性质　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．【解】　将9y2－4x2＝－36化为标准方程－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝．因此顶点为A1(－3，0)，A2(3，0)，焦点为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x．(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)求双曲线的离心率，归纳起来有两种方法：①由

7、条件寻找a，b，c所满足的关系，用公式e＝＝求解．②依据条件列出含有a，c的齐次方程，利用e＝转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e＞1对所得解进行取舍．　　双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)A．2B．2C．4D．4解析：选C．双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C．探究点2　由双曲线的几何性质求标准方程　根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P(3，－)，离心率为；(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝；(3)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)．【解】　(1)

8、由e＝＝，知c＝a，因此a＝b．即所求双曲线为等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又P(3，－)在双曲线上，所以9－(－)2＝λ，即λ＝4．因此双曲线的标准方程为－＝1．(2)由椭圆标准方程知c2＝9－4＝5，所以双曲线的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由e＝＝，且c＝知a＝2，所以b2＝c2－a2＝1．所以双曲线的标准方程为－y2＝1．(3)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝，即－＝1．(1)求双曲线的标准方程的方

9、法①解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．要特别注意a2＋b2＝c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．②如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2－ny2＝1(m，n同号)，然后由条件求m，n．(2)共渐近线的双曲线标准方程的求法与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为－＝λ(λ≠0)，然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程．　　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)过点(2，0)

10、，与双曲线－＝1离心率相等；(3)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2)．解：(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1．(2)当所求双曲线的焦点在x