资源描述：
《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课堂导学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.2双曲线的简单几何性质课堂导学三点剖析一、双曲线的渐近线【例1】求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.解:把方程16x2-9y2=-144化为标准方程=1,由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3,c==5.焦点坐标为(0,-5),(0,5);离心率e=;顶点坐标为(0,-4),(0,4);渐近线方程为y=±.温馨提示双曲线=1(a＞0，b＞0)的渐近线为y=±x,双曲线=1的渐近线为x=±y,即y=±x，应仔细区分两双曲线的渐近线的
2、异同点.二、双曲线的离心率【例2】双曲线=1(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线l过点（a,0）和(0,b)，且点(1,0)到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.解:直线l的方程为=1，即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=.同理得到点（-1，0）到直线l的距离：d2=,s=d1+d2==.由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.于是得5≥2e2,即4e4-25e3+25≤0.解不等式，得≤e2≤5.由于
3、e＞1＞0,所以e的取值范围是≤e≤.温馨提示本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想.本题主要考查了点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及同学们的综合运算能力.三、直线与双曲线的位置关系【例3】已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点.（1）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=ｘ对称?若存在，请求出a的值;若不存在，请说明理由.解:(1)由消去y,得（3－a2）x2－2ax－2=0.①依题意即－＜a
4、＜且ａ≠±３.②设A(ｘ1，ｙ1），Ｂ（ｘ2，ｙ2）,则∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.∴ｘ1ｘ2＋ｙ1ｙ2＝０.但y1y2＝ａ2ｘ1ｘ2＋ａ（ｘ1＋ｘ2）＋１,由③④,x1+x2＝，ｘ1ｘ2＝.∴（a2+1）·＋ａ·+1＝０.解得ａ＝±１且满足②.(2)假设存在实数a，使A、B关于ｙ＝ｘ对称，则直线y=ax+1与y＝ｘ垂直，∴a·=-1,即ａ＝-2.直线l的方程为ｙ＝-3ｘ＋１.将a=-2代入③得ｘ1＋ｘ2＝４.∴ＡＢ中点横坐标为2，纵坐标为ｙ＝-2×2＋１＝-3.但AB中点(2，-3）不
5、在直线ｙ＝12ｘ上,即不存在实数ａ,使A、B关于直线ｙ＝12ｘ对称.各个击破类题演练1求满足下列条件的双曲线方程.（1）以2x±3y=0为渐近线，且经过点（1，2）；（2）与椭圆x2+5y2=5共焦点且一条渐近线方程为y-x=0.解：（1）设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ，点（1，2）在双曲线上点的坐标代入方程可得λ=-32.∴所求双曲线方程为4x2-9y2=-32，即=1.（2）由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为（±2,0)，又双曲线的一条渐近线方程为yx=0，则另一条渐近线方程为y+x=0
6、.所求双曲线方程为3x2-y2=λ（λ＞0），则a2=，b2=λ.∴c2=a2+b2==4，即λ=3.故所求的双曲线方程为x2-=1.变式提升1(2004天津)设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若
7、PF1
8、=3，则
9、PF2
10、等于（）A.1或5B.6C.7D.9答案：C类题演练2(2006陕西高考，12)已知双曲线=1(a>)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.答案：D变式提升2(2004重庆)已知双曲线=1(
11、a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且
12、PF1
13、=4
14、PF2
15、,则此双曲线的离心率e的最大值为()A.B.C.2D.答案：B类题演练3已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为且过点（4，-).(1)求双曲线的标准方程；（2）直线x=3与双曲线交于M、N两点，求证：F1M⊥F2M.答案：（1）解：由双曲线的离心率为，即=,则=2,∴a=b,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x2-y2=λ(λ≠0).由于双曲线过点（4，），则42-（）2=λ.∴λ=6.∴双曲线方
16、程为=1.(2)证明：由（1）可得F1、F2的坐标分别为（-2，0）、（2，0），M、N的坐标分别为（3，）、（3，-）.∴kF1M=,kF2M=.故kF1M·kF2M=·=-1.∴F1M⊥F2M.变式提升3已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l过点P（-2，0）及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距的取值范围.解析：由方程.消去y，整理得（1-k2）x2+2kx-2=0.由题设得解得：-＜k＜-1.设A、B两点坐标分别为（
