高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质课后导练 新人教b版选修2-1

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1、2.3.2双曲线的简单几何性质课后导练基础达标1.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为（）A.x2-y2=96B.y2-x2=160C.x2-y2=80D.y2-x2=24答案：D2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是（）A.=1B.=1C.=1D.=1答案：B3.中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案：D4.焦点为(0，6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是（）A.=1B.=1C.=1D.=1答案：B5.若双曲线的

2、焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（）A.B.C.D.答案：C6.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为_____________,虚轴长为_____________,渐近线方程为,离心率为_______________.答案：24y=±x7.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是_________________.答案：xy=8.已知双曲线x2-3y2=3上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P点到右准线的距离为______________.答案：69.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.解：直线

3、y=kx-1过(0，-1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±x.∴k=±式.10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A（4，-1），圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.解:∵点A与圆心O的连线的斜率为-，∴过A的切线的斜率为4.∴双曲线的渐近线方程为y=±4x.设双曲线方程为x2=λ.∵点A（4，-1）在双曲线上，∴16=λ,λ=.∴双曲线的标准方程为=1.综合运用11.已知双曲线=1(a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上

4、，求

5、PF1

6、·

7、PF2

8、的最小值.解:设P点的横坐标为x0，则x0≥a或x0≤-a.由焦半径公式得

9、PF1

10、·

11、PF2

12、=

13、a-ex0

14、

15、a+ex0

16、=

17、a2-x02

18、=x02-a2=x02-a2.∵

19、x0

20、≥a,∴x02≥a2.∴

21、PF1

22、·

23、PF2

24、≥·a2-a2=b2.当

25、x0

26、=a时，上式“=”成立.∴

27、PF1

28、·

29、PF2

30、的最小值为b2.12.在双曲线=-1的一支上有不同的三点A（x1，y1）、B（x2，6）、C（x3，y3），与焦点F（0，5）的距离成等差数列.（1）求y1+y3的值；（2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标.答案

31、：（1）解：∵=e.∴

32、PF

33、=ey-a.又A、B、C到F的距离成等差数列，∴2（ey2-a）=（ey1-a）+（ey3-a）.∴y1+y3=2y2=12.（2）证明：由题意，得.①-②，得（y1-y3）（y1+y3）（x1-x3）·（x1+x3）=0.∴若x1+x3=0，则kAC=0，y1=y3=y2=6，A、B、C三点共线，这是不可能的.∴x1+x3≠0.则AC的中垂线方程为y-6=（x）.即y=.因此，AC的中垂线过定点（0，）.13.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=,求双曲线的方程.解:∵双曲线的中心在原点，准线和x轴垂直，∴双曲线的

34、方程是标准的且焦点在x轴上.∵=4,=.∴a=2,c=8.∴b2=82-22=60.∴双曲线的方程是=1.拓展探究14.已知双曲线=1，F为其右焦点，A（4，1）为平面上一点，点P为双曲线上一点，求

35、PA

36、+

37、PF

38、的最小值（如右图）.解：由双曲线的第二定义可知=e，其中d为P到右准线l：x=的距离，e=.∴

39、PF

40、=ed=d.∴

41、PA

42、+

43、PF

44、=

45、PA

46、+·d.∴

47、PA

48、+

49、PF

50、=

51、PA

52、+d，则求

53、PA

54、+

55、PF

56、的最小值：在双曲线上求一点P，使P到A的距离与到右准线l：x=的距离之和最小，如题图，由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线段中，垂

57、线段最短，从而过点A向右准线l：x=作垂线ＡＢ，交双曲线于P点，此时

58、PA

59、+d最小，即

60、PA

61、+

62、PF

63、最小，最小值为垂线段AB的长，易求

64、AB

65、=，故

66、PA

67、+

68、PF

69、的最小值为.15.已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件

70、PM

71、-

72、PN

73、=22.记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A、B是W上的不同两点,O是坐标原点,求·的最小值.解法一:(1)由

74、PM

75、-

76、PN

77、=2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又半焦距c=2,故虚半轴长b=.所以W的方程为=1,x≥.(2)设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y

78、2).当A