高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案新人教b版选修2

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1、2.3.2　双曲线的几何性质1．理解并掌握双曲线的几何性质．2．能根据这些几何性质解决一些简单问题．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围________________________________对称性对称轴：________对称中心：______对称轴：________对称中心：______顶点顶点坐标A1____，A2____顶点坐标A1____，A2____渐近线____________________离心率e＝______，e∈______，其中c＝______实虚轴线段________叫做双

2、曲线的实轴，它的长

3、A1A2

4、＝______；线段______叫做双曲线的虚轴，它的长

5、B1B2

6、＝______；____叫做双曲线的实半轴长，____叫做双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为__________a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)与椭圆的标准方程相比较，在双曲线的标准方程中，a，b只限制a＞0，b＞0，二者没有大小要求．若a＞b＞0，a＝b＞0,0＜a＜b，双曲线的离心率受到影响．因为e＝＝，故当a＞b＞0时，1＜e＜，当a＝b＞0时，e＝(亦称等轴双曲线)，当0＜a＜b时，e＞.【做一做1－1】已知双曲

7、线的方程为2x2－3y2＝6，则此双曲线的离心率为(　　)A．B．C．D．【做一做1－2】已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________．1．对有共同渐近线的双曲线系方程的理解剖析：若双曲线－＝±1与双曲线－＝±1有相同的渐近线，即两对直线±＝0与±＝0分别重合，则必有＝＝(k＞0)．故a′＝ka，b′＝kb.反之，易求得双曲线－＝±1与－＝±1有相同的渐近线y＝±x，故与双曲线－＝±1有相同的渐近线的双曲线系方程为－＝±1.上述方程可简化为－＝λ(λ≠0)．那么在已知渐近线方程的情况下，利用双曲线系－＝λ

8、(λ≠0)求双曲线方程较为方便．2．已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率的方法剖析：设双曲线的渐近线方程为y＝±x，其中y＝x的倾斜角为θ.若双曲线的焦点在x轴上，则e＝；若双曲线的焦点在y轴上，则e＝.显然a，b，c可以看成一个直角三角形的三条边．题型一已知双曲线方程求其几何性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a，b，c后求解．反思：求双曲线几何性质必须先把方程化为标准形式，作几何图形时，应先画出两条渐近线和两个顶点．题型二已知双曲线的几何性质求

9、双曲线方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M(1，)，求双曲线的方程．分析：应先根据渐近线方程设出双曲线方程，再代入点M的坐标求解．反思：要注意在已知渐近线的情况下双曲线方程的设法，即已知渐近线方程为±＝0或y＝±x时，设双曲线方程为＝m(m≠0)．题型三与双曲线的渐近线有关的问题【例3】双曲线－＝1的渐近线方程为______．反思：求双曲线－＝1的渐近线方程，一般有两种方法，即①代入y＝±x得渐近线方程．②令－＝0得±＝0，即y＝±x.此法简明有效．题型四求双曲线的离心率【例4】双曲线－＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为

10、边作等边三角形MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为(　　)A．＋1B．4＋2C．2－2D．2＋2反思：双曲线的离心率e＝＝，因此要求离心率，只要找到a，b，c三者之间任意两者的关系式即可．1．(2010·安徽高考，文5)双曲线的方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)A．B．C．D．2．双曲线－＝1的顶点坐标是(　　)A．(±5,0)B．(±5,0)或(0，±3)C．(±4,0)D．(±4,0)或(0，±3)3．双曲线－＝1的离心率是(　　)A．B．C．D．4．若双曲线－＝1的一条渐近线方程为＋y＝0，则此双曲线的离心率为__

11、____．5．已知以原点O为中心，F(，0)为右焦点的双曲线C的离心率e＝.求双曲线C的标准方程及其渐近线方程．答案：基础知识·梳理1．x≥a或x≤－a，y∈R　x∈R，y≤－a或y≥a　坐标轴　原点　坐标轴　原点　(－a,0)　(a,0)　(0，－a)(0，a)　y＝±x　y＝±x　　(1，＋∞)　A1A2　2a　B1B2　2b　a　b　【做一做1－1】C　双曲线的方程可化为－＝1，∴a＝，c＝，∴e＝.【做一做1－2】－＝1　∵＝2，c＝4，∴a＝2，b＝2，∴双曲线的标准方程为－＝1.典型例题·领悟【例1】解：将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1

12、，所以a＝3，b＝2，c