2018年秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1第1课时正弦定理1学案新人教A版必修5.doc

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1、第1课时 正弦定理(1)学习目标:1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点).[自主预习·探新知]1.正弦定理思考:如图111,在Rt△ABC中,,,各自等于什么?图111[提示] ===c.2.解三角形(1)一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.思考:利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题?[提示] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;

2、②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.[基础自测]1.思考辨析(1)正弦定理只适用于锐角三角形.(  )(2)正弦定理不适用于直角三角形.(  )(3)在某一确定的三角形中,各边与它所对的角的正弦的比值是一定值.(  )[答案] (1)× (2)× (3)√提示:正弦定理适用于任意三角形,故(1)(2)均不正确.2.在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3,则AC=________.【导学号:91432000】2 [由正弦定理得:=,所以AC==2.]3.在△ABC中,A=45°,c=2,则AC边上的高等于______________. [AC边上

3、的高为ABsinA=csinA=2sin45°=.]4.在△ABC中,若a=3,b=,A=,则C=________.【导学号:91432001】 [由正弦定理得:=,所以sinB=.又a>b,所以A>B,所以B=,所以C=π-=.][合作探究·攻重难]定理证明 在钝角△ABC中,证明正弦定理.[证明] 如图,过C作CD⊥AB,垂足为D,D是BA延长线上一点,根据正弦函数的定义知:=sin∠CAD=sin(180°-A)=sinA,=sinB.∴CD=bsinA=asinB.∴=.同理,=.故==.[规律方法] (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联,系,充分挖掘这些联系可以使你理解

4、更深刻,记忆更牢固.(2)要证=,只需证asinB=bsinA,而asinB,bsinA都对应CD.初看是神来之笔,仔细体会还是有迹可循的,通过体会思维的轨迹,可以提高我们的分析解题能力.[跟踪训练]1.如图112,锐角△ABC的外接圆O半径为R,证明=2R.【导学号:91432002】图112[证明] 连接BO并延长,交外接圆于点A′,连接A′C,则圆周角∠A′=∠A.∵A′B为直径,长度为2R,∴∠A′CB=90°,∴sinA′==,∴sinA=,即=2R.用正弦定理解三角形 已知△ABC中,a=10,A=30°,C=45°,求角B,边b,c.思路探究:①角A,B,C满足什么关系

5、?②105°可拆分成哪两个特殊角的和?③由正弦定理如何求得b,c的值?[解] ∵A=30°,C=45°,∴B=180°-(A+C)=105°,又由正弦定理得:c==10.b===20sin(60°+45°)=5(+).∴B=105°,b=5(+),c=10.[规律方法](1)正弦定理实际上是三个等式:=,=,=,每个等式涉及四个元素,所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)具体地说,以下两种情形适用正弦定理:①已知三角形的任意两角与一边;②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.[跟踪训练]2.已知∠B=30°,b=,c=2,求A、C、a.【导学号:91432003】[解] 由正

6、弦定理得:sinC===,∵c>b,0°

7、到的变形:sinA=,a=2RsinA;sinB=,b=2RsinB;sinC=,c=2RsinC.由这些变形形式,我们可以实现三角形中边、角关系的转化. 在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.【导学号:91432004】思路探究:解决本题的关键是利用sinA=,sinB=,sinC=把sin2A=sin2B+sin2C转化为三角形三边的关系,从而判定出角A,然后再利用sinA=2sinB

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