高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理（2）学案 新人教A版必修.doc

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1、1．1.1　正弦定理(二)学习目标　1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．知识点一　正弦定理的常见变形1．sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；2.＝＝＝＝2R；3．a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；4．sinA＝，sinB＝，sinC＝.知识点二　判断三角形解的个数思考1　在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．答案　sinB＝sinA＝×＝

2、，而<<1，所以当B为锐角时，满足sinB＝的角有60°b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果a

3、夹角分别相等，则这两个三角形全等．即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题．梳理　解三角形4个基本类型：(1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角．其中只有类型(3)解的个数不确定．知识点三　正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用思考1　在△ABC中，已知acosB＝bcosA．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?答案　可借助正弦定理把边化成角：2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移项

4、后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB－cosAsinB＝0.梳理　一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来．简称边角互化．思考2　什么时候适合用正弦定理进行边角互化？答案　尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径．故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径．类型一　判断三角形解的个数例1　在△ABC中，已知a＝20

5、cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1cm)解　根据正弦定理，sinB＝＝≈0.8999.因为0°a，B>A，(1)当B≈64°时，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋64°)＝76°，c＝＝≈30(cm)．(2)当B≈116°时，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋116°)＝24°，c＝＝≈13(cm)．综上，B≈64°，C≈76°，c≈30cm或B≈116°，C≈24°，c≈13cm.引申探究例1中b＝28cm，A＝40°不

6、变，当边a在什么范围内取值时，△ABC有两解(范围中保留sin40°)?解　如图，∠A＝40°，CD⊥AD.AC＝28cm，以C为圆心，a为半径画圆弧，当CD＜a＜AC，即bsinA＜a＜b，28sin40°＜a＜28时，△ABC有两解(△AB1C，△AB2C均满足题设)．反思与感悟　已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不

7、与三角形内角和定理矛盾，就是所求．跟踪训练1　已知一三角形中a＝2，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．解　a＝2，b＝6，aa，B>A，B∈(0°，180°)，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.类

8、型二　利用正弦定理求最值或取值范围例2　在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范围．解　∵a＝2bsinA，∴由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，又∵A∈(0，)，sinA≠0，∴sinB＝.∵B为锐角，∴B＝.令y＝cosA＋sinC＝cosA＋sin＝cosA＋sin＝cosA＋sincosA＋cossinA＝cosA＋sinA＝sin.由锐角△ABC知，－