高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理（1）学案 新人教A版必修.doc

《高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理（1）学案 新人教A版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.1.1　正弦定理(一)学习目标　1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一　正弦定理的推导思考1　如图，在Rt△ABC中，、、各自等于什么？答案　＝＝＝c.思考2　在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？答案　在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本采用边AB上的高CD＝bsinA＝asinB来证明．梳理　任意△ABC中，都有＝＝，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．知识点二　正弦定理的呈现形

2、式1.＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)；2．a＝＝＝2RsinA；3．sinA＝，sinB＝，sinC＝.知识点三　解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．类型一　定理证明例1　在钝角△ABC中，证明正弦定理．证明　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB．∴＝.同理，＝.

3、故＝＝.反思与感悟　(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1　如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.证明　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝＝，∴sinA＝，即＝2R.

4、类型二　用正弦定理解三角形例2　在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形．解　根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b＝＝≈80.1(cm)；根据正弦定理，得c＝＝≈74.1(cm)．反思与感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边

5、与其中一边的对角．跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．解　根据三角形内角和定理，A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理，得b＝＝＝9.类型三　边角互化命题角度1　化简证明问题例3　在任意△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.证明　由正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>0.代入得：左边＝k(sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC

6、－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB)＝0＝右边，所以等式成立．命题角度2　运算求解问题例4　在△ABC中，A＝，BC＝3，求△ABC周长的最大值．解　设AB＝c，BC＝a，CA＝b.由正弦定理，得＝＝＝＝2.∴b＝2sinB，c＝2sinC，a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC＝3＋2sinB＋2sin＝3＋2sinB＋2＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋6sin，∴当B＝时，△ABC的周长有最大值9.反思与感悟　利用＝＝＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c

7、＝ksinC(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3　在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值．解　∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝，B＝，C＝，∴sinA＝，sinB＝，sinC＝1.设＝＝＝k(k>0)，则a＝ksinA＝，b＝ksinB＝k，c＝ksinC＝k，∴a∶b∶c＝∶∶1＝1∶∶2.1.在△ABC中，一定成立的等式是(　　)A．asinA＝bsinBB．acosA＝bcosBC．asinB＝bsinAD．a

8、cosB＝bcosA答案　C解析　由正弦定理＝，得asinB＝bsinA，故选C.2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是(　　)A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案　B解析　由sinA＝sinC，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形．3．在△ABC中，已知BC＝，sinC＝2sinA，则AB＝________.答案　2解析　由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2.4．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝___