高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理课堂探究学案 新人教b版必修5

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1、1.1.1正弦定理课堂探究一、判断三角形解的个数剖析:(1)代数法在△ABC中,已知a,b,∠A,由正弦定理可得sinB=sinA=m.①当sinB>1时,这样的∠B不存在,即三角形无解.②当sinB=1时,∠B=90°,若∠A<90°,则三角形有一解,否则无解.③当sinB<1时,满足sinB=m的角有两个,其中设锐角为α,钝角为β,则当∠A+α>180°时,三角形无解;当∠A+α<180°,且∠A+β<180°时,有两解;当∠A+α<180°且∠A+β>180°时有一解.(2)几何法根据条件中∠A的大小

2、,分为锐角、直角、钝角三种情况,通过几何作图,得出解的情况.作出已知∠A,以A为圆心,边长b为半径画弧交∠A的一边于C.使未知的边AB水平,顶点C在边AB上方,以点C为圆心,边长a为半径作圆,该圆与射线AB交点的个数,即为解的个数,如下表所示:∠A为锐角∠A为钝角或直角图形①②关系式①a=bsinA②a≥bbsinAba≤b解的个数一解两解无解一解无解二、教材中的“探索与研究”在正弦定理中,设===k.请研究常数k与△ABC外接圆的半径R的关系.(提示:先考察直角三角形)剖析:(1

3、)如图1,当△ABC为直角三角形时,直接得到===2R(a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,R为外接圆半径).(2)如图2,当△ABC为锐角三角形时,连接BO并延长交圆O于点D,连接CD.因为∠A=∠D,所以==2R,同理==2R,即===2R.(3)如图3,当△ABC为钝角三角形且∠A为钝角时,连接BO并延长交圆O于点D,连接CD,∠A=180°-∠D,所以===2R.由(2)知==2R,即===2R.综上所述,对于任意△ABC,===2R恒成立.归纳总结:根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式

4、:(1)asinB=bsinA;asinC=csinA;bsinC=csinB.(2)a=;sinB=.(3)====2R(R为△ABC外接圆的半径).(4)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.(5)边化角公式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.(6)角化边公式:sinA=,sinB=,sinC=.题型一 解三角形【例1】已知在△ABC中,c=10,∠A=45°,∠C=30°,求a,b和∠B.分析:正弦定理中有三个等式,每个等式都含有四个未知量,可知三求一.当知道两个角时,即可知道

5、第三个角,所以若再知道三边中任意一边,就可解这个三角形.解:∵=,∠A=45°,∠C=30°,∴a===10,∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-(45°+30°)=105°.又=,∴b===20sin75°=20×=5(+).反思:本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边,求另两边和一角)的方法步骤,即先由正弦定理求得已知角的对边,然后利用内角和公式求得第三角,再用正弦定理求第三边.【例2】在△ABC中,已知a=,b=,∠B=45°,求∠A,∠C和c.分析:已知两边和其中一边的对角的解三角形问

6、题可运用正弦定理来求解,但应注意解的个数.解:由正弦定理=,知sinA==.∵asinB

7、角和公式求得第三角,再求得第三边.解答此类问题应注意对解的个数的讨论.题型二 判断三角形的形状【例3】在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且==,试判断△ABC的形状.分析:将式中的a,b,c分别用2RsinA,2RsinB,2RsinC(R为△ABC外接圆半径)来代替是解决本题的关键.解:由正弦定理===2R(R为△ABC外接圆的半径),得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入==中,可得==,所以tanA=tanB=tanC.又因为∠A,∠B,∠C是△ABC的内角,

8、所以∠A=∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形.反思:已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两种思路:其一,化边为角,再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系;其二,化角为边,再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系.【互动探究】在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且==,试判断△ABC的形状.解:由==,==得=,=,∴sinB=cosB,即sin(∠B-45°)=0,∴∠B=45°,同理

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