高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理课堂探究学案 新人教b版必修5

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1、1.1.1正弦定理课堂探究一、判断三角形解的个数剖析：(1)代数法在△ABC中，已知a，b，∠A，由正弦定理可得sinB＝sinA＝m．①当sinB>1时，这样的∠B不存在，即三角形无解．②当sinB＝1时，∠B＝90°，若∠A<90°，则三角形有一解，否则无解．③当sinB<1时，满足sinB＝m的角有两个，其中设锐角为α，钝角为β，则当∠A＋α>180°时，三角形无解；当∠A＋α<180°，且∠A＋β<180°时，有两解；当∠A＋α<180°且∠A＋β>180°时有一解．(2)几何法根据条件中∠A的大小

2、，分为锐角、直角、钝角三种情况，通过几何作图，得出解的情况．作出已知∠A，以A为圆心，边长b为半径画弧交∠A的一边于C．使未知的边AB水平，顶点C在边AB上方，以点C为圆心，边长a为半径作圆，该圆与射线AB交点的个数，即为解的个数，如下表所示：∠A为锐角∠A为钝角或直角图形①②关系式①a＝bsinA②a≥bbsinAba≤b解的个数一解两解无解一解无解二、教材中的“探索与研究”在正弦定理中，设＝＝＝k．请研究常数k与△ABC外接圆的半径R的关系．(提示：先考察直角三角形)剖析：(1

3、)如图1，当△ABC为直角三角形时，直接得到＝＝＝2R(a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆半径)．(2)如图2，当△ABC为锐角三角形时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD．因为∠A＝∠D，所以＝＝2R，同理＝＝2R，即＝＝＝2R．(3)如图3，当△ABC为钝角三角形且∠A为钝角时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，∠A＝180°－∠D，所以＝＝＝2R．由(2)知＝＝2R，即＝＝＝2R．综上所述，对于任意△ABC，＝＝＝2R恒成立．归纳总结：根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式

4、：(1)asinB＝bsinA；asinC＝csinA；bsinC＝csinB．(2)a＝；sinB＝．(3)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．(4)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(5)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(6)角化边公式：sinA＝，sinB＝，sinC＝．题型一　解三角形【例1】已知在△ABC中，c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b和∠B．分析：正弦定理中有三个等式，每个等式都含有四个未知量，可知三求一．当知道两个角时，即可知道

5、第三个角，所以若再知道三边中任意一边，就可解这个三角形．解：∵＝，∠A＝45°，∠C＝30°，∴a＝＝＝10，∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝180°－(45°＋30°)＝105°．又＝，∴b＝＝＝20sin75°＝20×＝5(＋)．反思：本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边，求另两边和一角)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知角的对边，然后利用内角和公式求得第三角，再用正弦定理求第三边．【例2】在△ABC中，已知a＝，b＝，∠B＝45°，求∠A，∠C和c．分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问

6、题可运用正弦定理来求解，但应注意解的个数．解：由正弦定理＝，知sinA＝＝．∵asinB

7、角和公式求得第三角，再求得第三边．解答此类问题应注意对解的个数的讨论．题型二　判断三角形的形状【例3】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且＝＝，试判断△ABC的形状．分析：将式中的a，b，c分别用2RsinA，2RsinB，2RsinC(R为△ABC外接圆半径)来代替是解决本题的关键．解：由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入＝＝中，可得＝＝，所以tanA＝tanB＝tanC．又因为∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，

8、所以∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形．反思：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两种思路：其一，化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系；其二，化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系．【互动探究】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且＝＝，试判断△ABC的形状．解：由＝＝，＝＝得＝，＝，∴sinB＝cosB，即sin(∠B－45°)＝0，∴∠B＝45°，同理