2018年秋高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 第2课时 正弦定理（2）学案 新人教A版必修5

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1、第2课时　正弦定理(2)学习目标：1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点).2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)[自主预习·探新知]1．正弦定理及其变形(1)定理内容：＝＝＝2R(R为外接圆半径)．(2)正弦定理的常见变形：①sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；②＝＝＝＝2R；③a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；④sinA＝，sinB＝，sinC＝.思考：在△ABC中，已知acosB＝bc

2、osA．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?提示：可借助正弦定理把边化成角：2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB－cosAsinB＝0.2．对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明图形关系式解的个数A为锐角①a＝bsinA；②a≥b一解bsinA

3、

4、＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．[基础自测]1．思考辨析(1)在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立．(　　)(2)在△ABC中，若∠A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°.(　　)(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　提示：(2)由正弦定理可知＝，即＝，所以sinB＝，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.(3)当bsinA

5、inA＝sinC，则△ABC是(　　)【导学号：91432015】A．直角三角形　　　　　B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形B　[由正弦定理可得sinA＝sinC⇒＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]3．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　)A.B.C.D.C　[由正弦定理可得＝＝，故选C.]4．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)【导学号：91432016】A．一解B．两解C．无解D．无法确定A　[由b

6、的个数的判断　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2，b＝6，A＝30°.【导学号：91432017】[解]　(1)a＝10，b＝20，a20sin60°＝10，∴absinA，∴bsinA

7、180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2.∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2.[规律方法]　已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.[跟踪训练]1．△ABC中，a＝x，

8、b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是________．2