2018年高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1第1课时正弦定理1学案新人教a版

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1、第1课时　正弦定理(1)学习目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)．[自主预习·探新知]1．正弦定理思考：如图111，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？图111[提示]　＝＝＝c.2．解三角形(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？[提示]　利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边

2、和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．[基础自测]1．思考辨析(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(　　)(2)正弦定理不适用于直角三角形．(　　)(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√提示：正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________.【导学号：91432000】2　[由正弦定理得：＝，所以AC＝＝2.]3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于_________

3、_____．　[AC边上的高为ABsinA＝csinA＝2sin45°＝.]4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________.【导学号：91432001】　[由正弦定理得：＝，所以sinB＝.又a>b，所以A>B，所以B＝，所以C＝π－＝.][合作探究·攻重难]定理证明　在钝角△ABC中，证明正弦定理．[证明]　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴＝.同理，＝.故＝＝.[规律方法]　(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在

4、联,系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.(2)要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力.[跟踪训练]1．如图112，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.【导学号：91432002】图112[证明]　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝＝，∴sinA＝，即＝2R.用正弦定理解三角形　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B

5、，边b，c.思路探究：①角A，B，C满足什么关系？②105°可拆分成哪两个特殊角的和？③由正弦定理如何求得b，c的值？[解]　∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，又由正弦定理得：c＝＝10.b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)．∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10.[规律方法](1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.[跟踪训练]2．已知∠B＝30°，b＝，c

6、＝2，求A、C、a.【导学号：91432003】[解]　由正弦定理得：sinC＝＝＝，∵c>b,0°

7、些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示：由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：sinA＝，a＝2RsinA；sinB＝，b＝2RsinB；sinC＝，c＝2RsinC．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.【导学号：91432004】思路探究：解决本题的关键是利用sinA＝，sinB＝，sinC＝把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sinA＝2sinB