第七章空间解析几何与向量代数学习指导.doc

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1、第七章空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。也为学习多元微积分做准备。垂点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。（-）1.空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点0,连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。当勺，e

2、2fs的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《宇间解析儿何》这类专业教材。2.空间向量可以从两个途径来认识：%1由定义：具有人小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角來确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：亦，N等。%1可由向量的坐标来把握向量。必须分清

3、向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设a={x,y,z}的始点的坐标分别为（兀】，勺，®），（儿』2，儿），则a={x2-兀］,歹2CS-Z

4、},即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：x=x2-xl9y=y2~fz=z2~因此'若确定了向量的坐标,则这个向量就确定To当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。3.在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某

5、段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。1.一个平面具有各种形式的方程，如点法式，三点式，截距式，一般式。在学习平而的各种形式的方程时，对方程屮常数的儿何意义应引起充分的注意。女山平而方程Ar+By+Cz+D=O,贝为平面的一•个法向屋，建立平面的方程时应根据条件灵活处理。点法式方程是应用较方便，常用的方程类型，这是因为在讨论平面问题时，平面的法向量常常起着关键性的作用。5•确定空间一条直线的方法很多，在《高等数学》屮把它归结为由直线上的一个定点

6、和与直线平行的一个非零向量来确定，或将它看成两个平而的交线。空间直线的标准式方程与参数式方程，二维空间中的宜线均有对应的形式，但要注意，只有空间宜线可看成两个平面的交线。6.在《高等数学》中，常用的曲面方程为：椭球面方程222二"+丄〒+二r=1,当a=b或"=c或c=d时为旋转椭球面，当a2b2c2a-b-c时，为球面方程。双曲而方程222兀+>'+Z-a2b2c21,单叶双曲面一1,双叶双曲面锥面方稈222——F-—F—=0,abc丰0abc抛物而方程2z=<'22X+〉’，椭圆抛物面P2：，其中p

7、qL"，双曲抛物面pq柱面方程F（y,Z）=0,母线平行于兀轴的柱而方程F（x,z）=0，母线平行于y轴的柱血方程旋转血方程母线｛/(y,z)=ox=0［绕z轴旋转所得旋转面方程：/（±后+b,z）=0［绕y轴旋转所得旋转而方程：/（y,±7x2+?）=0（二）1•向量在轴上的投影是个常用的概念，要注意向量在轴上的投影是一个数量而不是一个向量，也不是一个线段。设向量乔，其中投影轴为/,点A,B在轴上的投影分别为川，歹，若取与轴同方向的单位向量为0,则有而=比，称兀为為在轴/上的投影。因此向量期在轴上的投

8、影不是有向线段丽，而是一个数值，记为P"忑，易知PrjtAB=ABcos（p,其屮©为乔与轴/的夹角。2.向量在坐标轴上的投影称为向量的坐标。3.向量的数量积，向量积一览表：ab—♦dxb-■f(—>人—、.,•axb=a\bsinabnQ,n()5-6=13II61cosab丿定义丿是同时垂直于刁，5的单位向量，且0

9、+Qyby+azbz"b二axayazbx"bzaHboNx方=6刁丄ha'b=0特征性质llr,ay仇a即a”+ab+a」儿=0即x—>—zxxyyzzbxhybz点M]g,%,zJ到平而兀的距离为点j心）到直线/的距离为d=1n0•A/0Mj1,(*i),其中72°为平J=lIqxMqM{,(*2)，其中Z°为直几何应用血龙的单位法向量，A/。是龙上的任线/上的单位向量，是直线/上的一点，当〃二0时，（*]）式给出动点码任一点。当d=