线性代数2_3逆矩阵.ppt

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1、第3节逆矩阵(inversematrix)3.1逆矩阵的定义3.2方矩阵可逆的充分必要条件3.3可逆矩阵的性质3.4用逆矩阵求解线性方程组下页3.6伴随矩阵的常用性质3.5用逆矩阵求解矩阵方程3.1逆矩阵的概念解方程组解：将其写成矩阵方程两边都左乘矩阵F得从而得方程组的解:下页那么,F矩阵是怎么得到的呢？第3节逆矩阵1.逆矩阵概念的引入定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得ABBAE，那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵.2.可逆矩阵的定义这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有AB=

2、BA=E，AB1=B1A=E于是B=B1.=EB1=(BA)B1=B(AB1)=BE如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.逆矩阵的唯一性下页A的逆矩阵记为A1.即若ABBAE，则BA1.定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得ABBAE，那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.2.可逆矩阵的定义定理1如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1，AB1.如可以验证，下页则矩阵即为的可逆矩阵或逆阵.在数的运算中，当数时，有其中为a的倒数，

3、（或称a的逆）；在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵A-1,使得比较—逆矩阵与倒数例1设解设是的逆矩阵,则利用待定系数法所以例1设又因为3.2方阵可逆的充分必要条件A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn定义2由矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为A*.即a11a12a1na21a22a2nan1an2annA=的代数余子式构成的矩阵A11A21An1A12A2

4、2An2A1nA2nAnnA*=下页3.伴随矩阵特别注意A*的元素排列顺序例1.求的伴随矩阵A*.解:同理A13=1，A21=-2，A22=1，A23=-1，A31=-1，A32=2，A33=1因此A的伴随矩阵A11A21A31A12A22A32A13A23A33三阶矩阵A的伴随矩阵A*为，下页定理2n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是

5、A

6、0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.所以

7、A

8、0，即A为非奇异.设A可逆，故

9、A

10、·

11、A1

12、

13、E

14、1，使AA1E,即有

15、A1，证：必要性.=—A*，1

16、A

17、A-1定义3对于n阶矩阵A，若行列式

18、A

19、=0，则称A是奇异的(或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退化的).下页5.方阵可逆的充分必要条件4.(非)奇异矩阵a11a12a1na21a22a2nan1an2annA11A21An1A12A22An2A1nA2nAnnAA*==

20、A

21、E

22、A

23、000

24、A

25、000

26、A

27、=充分性.定理

28、2n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是

29、A

30、0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.证：=—A*，1

31、A

32、A-1设A非奇异，B=—A*1

33、A

34、取=A(—A*)1

35、A

36、则有AB=—AA*1

37、A

38、注意：=—

39、A

40、E1

41、A

42、=E.同理可证BA=E.因此A可逆，=—A*.1

43、A

44、且A-1(即AB=E.)下页=—A*.1

45、A

46、A-1矩阵A可逆

47、A

48、0；例2．求矩阵A=的逆矩阵.2-311200-512-311200-51解:因为=20，所以A可逆.又因为A12A13A11A22A23A21A32A33A31A*=

49、107-5-2-2221-1=，所以=—A*1

50、A

51、=—12A-1107-5-2-2221-157/2-5/2-1-1111/2-1/2=.

52、A

53、=下页讨论：(1)如何求二阶矩阵A=的逆矩阵。a11a21a12a22提示：A*=A11A12A21A22a22-a21-a12a11=，=a11a22-a12a21，a11a21a12a22

54、A

55、==—A*1

56、A

57、A-1a22-a21-a12a11=—————.1a11a22-a12a21下页(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。(1)(2)推论设A，B都是n阶矩阵

58、，若AB=E，则必有BA=E；这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要验证一个等式AB=E或BA=E即可.若BA=E，则必有AB=E.例3．设n阶矩阵A满足aA2+bA+cE=O，证明A为可逆矩阵，并求A-1(a,b,c为常数，且c0).又因c0，故有aA2+bA=-cE，解:由aA2+bA+cE=O，有-c-1(aA2+bA)=E，即-c-1(aA+bE)A=E，因此A可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE.下页思考思考