2_3逆矩阵.ppt

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1、第3节逆矩阵(inversematrix)3.1逆矩阵的定义3.2方矩阵可逆的充分必要条件3.3可逆矩阵的性质3.4用逆矩阵求解线性方程组下页3.6伴随矩阵的常用性质3.5用逆矩阵求解矩阵方程3.1逆矩阵的概念解方程组解：将其写成矩阵方程两边都左乘矩阵F得从而得方程组的解:下页那么,F矩阵是怎么得到的呢？第3节逆矩阵逆矩阵概念的引入定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得ABBAE，那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵.可逆矩阵的定义这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E，AB1=B1A=E于是B=B1.=EB1=(BA)B1=B

2、(AB1)=BE如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.逆矩阵的唯一性下页A的逆矩阵记为A1.即若ABBAE，则BA1.定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得ABBAE，那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.可逆矩阵的定义定理1如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1，AB1.如可以验证，下页故BA1，AB13.2方阵可逆的充分必要条件A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn定义2由矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为A*.即a11

3、a12a1na21a22a2nan1an2annA=的代数余子式构成的矩阵A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnnA*=下页例1.求的伴随矩阵A*.解:同理A13=1，A21=-2，A22=1，A23=-1，A31=-1，A32=2，A33=1因此A的伴随矩阵A11A21A31A12A22A32A13A23A33三阶矩阵A的伴随矩阵A*为，下页定理2n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是

4、A

5、0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.所以

6、A

7、0，即A为非奇异.设A可逆，故

8、

9、A

10、·

11、A1

12、

13、E

14、1，使AA1E,即有A1，证：必要性.=—A*，1

15、A

16、A-1定义3对于n阶矩阵A，若行列式

17、A

18、=0，则称A是奇异的(或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退化的).下页方阵可逆的充分必要条件a11a12a1na21a22a2nan1an2annA11A21An1A12A22An2A1nA2nAnnAA*==

19、A

20、E

21、A

22、000

23、A

24、000

25、A

26、=充分性.定理2n阶矩阵A为可逆的充分必要条

27、件是

28、A

29、0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.证：=—A*，1

30、A

31、A-1设A非奇异，B=—A*1

32、A

33、取=A(—A*)1

34、A

35、则有AB=—AA*1

36、A

37、注意：=—

38、A

39、E1

40、A

41、=E.同理可证BA=E.因此A可逆，=—A*.1

42、A

43、且A-1(即AB=E.)下页=—A*.1

44、A

45、A-1矩阵A可逆

46、A

47、0；例2．求矩阵A=的逆矩阵.2-311200-512-311200-51解:因为=20，所以A可逆.又因为A12A13A11A22A23A21A32A33A31A*=107-5-2-2221-1=，所以=—A*1

48、A

49、=—12A-1107-5-2-2221

50、-157/2-5/2-1-1111/2-1/2=.

51、A

52、=下页讨论：(1)如何求二阶矩阵A=的逆矩阵。a11a21a12a22提示：A*=A11A12A21A22a22-a21-a12a11=，=a11a22-a12a21，a11a21a12a22

53、A

54、==—A*1

55、A

56、A-1a22-a21-a12a11=—————.1a11a22-a12a21下页(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。(1)(2)推论设A，B都是n阶矩阵，若AB=E，则必有BA=E；这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要验证一个等式AB=E或BA=E即可.若BA=E，则必有AB=E.例3

57、．设n阶矩阵A满足aA2+bA+cE=O，证明A为可逆矩阵，并求A-1(a,b,c为常数，且c0).又因c0，故有aA2+bA=-cE，解:由aA2+bA+cE=O，有-c-1(aA2+bA)=E，即-c-1(aA+bE)A=E，因此A可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE.下页例4.设三阶矩阵A,B满足关系式，且求矩阵B.解:由于A可逆，将等式两端右乘有，整理得,于是故，下页练习解:1.由A2-A-2E=O，得所以A-E可逆，正确选项为③．2.由ABC＝E,可得BC为A的逆阵，所以BCA＝E,正确选项为④．1、设n阶矩阵A满足A2-A-2E＝O，则必有(

58、)．①A=2E；②A=-