西南大学-量子力学03.ppt

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1、第三章力学量与算符§4.1算符的一般运算规则§4.2量子力学的对易式§4.3厄米算符的本征值与本征函数§4.4力学量完全集§4.5基本力学量的本征函数系§4.6不确定性关系代表对波函数进行某种运算或变换的符号Ôu=v表示Ô把函数u变成v，Ô就是这种变换的算符。1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：算符定义§4.1算符的一般运算规则（1）线性算符Ô(c1ψ1+

2、c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。满足如下运算规律的算符Ô称为线性算符（2）算符相等若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=Ûψ，则算符Ô和算符Û相等记为Ô=Û。例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（3）算符之和若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ有：(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ则Ô+Û=Ê称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代

3、替。Ô-Û=Ô+（-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。Ô+Û＝Û+ÔÔ+(Û＋T)=(Ô+Û)+T（5）逆算符1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如以后学到投影算符就不存在逆.2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1（4）算符之积若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则ÔÛ

4、=Ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。例如:设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:（7）复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭.例如:坐标表象中（6）算符函数利用波函数标准条件:当

5、x

6、→∞时ψ,→0。同理可证:（8）转置算符由于ψ、φ是任意波函数,所以(9)厄密共轭算符由此可得：:转置算符的定义厄密共轭算符亦可写成：算符Ô之厄密共轭算符Ô+定义:可以证明:(ÔÂ)+=Â+Ô+(ÔÂÛ...)+=...Û+Â

7、+Ô+(10)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.2.性质性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当[Ô,Û]=0成立时,(ÔÛ)+=ÔÛ才成立。引入波函数的标积形式转置算符厄米共厄算符性质III:定理：在任何状态下，厄米算符的平均值都是实数。反过来，在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。证明：首先证明，厄米算符的平均值都是实数。对于任意态ψ厄米算符定义厄米共厄算符定义下面证明反

8、过来也成立。考虑引入两个任意态ψ1和ψ2，常数c也是任意的，取ψ＝ψ1＋cψ2，代入上式上式分别取c＝1和i，则得此即是厄米算符定义所要求的：厄米算符的重要性在于：实验上可以观测的力学量，当然要求平均值为实数。因此，相应的算符必然要求为厄米算符。§4.2量子力学的对易式对易关系若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。对易关系显然二者结果不相等，所以:量子力学中最基本的对易关系。若算符满足ÔÛ=-ÛÔ，则称Ô和Û反对易。写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。注意：当Ô与Û对易，Û与Ê对易，不能推知Ô与Ê对易与否。例如：对易括号为了表述简洁，

9、运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔ这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：[Ô,Û]=-[Û,Ô][Ô,Ô]＝0[Ô,C]=0C是常数4)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]5)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]6)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第六式称为Jacobi恒等式。角动量算符的对易关系经典力学中，若动量为p，相对点O的位置矢量为r的粒子绕O点的角动量是：量子化后的角动量算符为：即得算符形式由此易知有如下对易关系

10、：令下面简单给出上述对易关系的证明：(I)(II)(III)§4.3厄米算符的本