西南交大《大学物理》量子力学基础new

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1、本习题版权归物理与科学技术学院物理系所有，不得用于商业目的《大学物理》作业No.8量子力学基础班级________学号________姓名_________成绩_______一、选择题：1.静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v关系式正确的是：1[](A)λ∝v(B)λ∝v1122(C)λ∝−(D)λ∝c−v22vc解：由德布罗意公式和相对论质—速公式有hm0vp==mv=λv21−2ch1111得粒子物质波的波长λ=−，即λ∝−故选C2222mvcvc0(A)x2.设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动

2、量的精确度最高的波函(B)x数是哪个图？[](C)x解：不确定关系式表明：粒子的位置和动量不能同时准确确定。四个波函数图中，只有图A波函数表明粒(D)x子的位置精确度最低，则粒子动量的精确度最高。故选A3.将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布概率将[](A)不变(B)增大D倍2(C)增大2D倍(D)增大D倍解：根据波函数的统计解释：波函数本身没有什么直观的物理意义，有意义的是波函数的平方，重要的也不是波函数的平方的绝对值大小，而是波函数的平方在空间各的比值，故波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，粒子在空间的分布概率将不变。故选A4.已知粒子在一维矩形无限深势

3、阱中运动，其波函数为：13πxψ(x)=cos(−a≤x≤a)a2a5a那么粒子在x=处出现的概率密度为611[](A)(B)2aa11(C)(D)2aa2123πx解：由概率密度定义有ψ(x)=cos()a2a5a将x=代入上式，得6粒子在x=5a2123π5a1处出现的概率密度ψ(x)=cos(⋅)=故选A6a2a62a−35.波长λ=5000Å的光沿x轴正方向传播，若光的波长的不确定量∆λ=10Å，则利用不确定关系∆x⋅∆p≥h可得光子的x坐标的不确定量至少为：x[](A)25cm(B)250cm(C)50cm(D)500cmh解：由德布罗意公式p=，可得λhh−3沿x轴

4、正方向传播的光子的动量最小不确定量∆p=∆λ=×10x22λ5000利用不确定关系∆x⋅∆p≥h，可得xh9光子的x坐标最小不确定量∆x==25×10Å=250cm故选B∆px二、填空题：1.不确定关系式∆x⋅∆p≥ℏ表示在x方向上。x解：表示在x方向上微观粒子的位置和动量不能同时准确确定。2.低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比p:p=；动能之比E:E=。PαPαh解：由德布罗意公式p=知，动量只与德布罗意波长λ有关，得λ它们的动量之比p:p=1:1Pα2p因低速运动，故由非相对论动能公式Ek=，且pp=pα，得2mm它们的动能之比E:E=α=4

5、:1Pαmp−23.在B=1.25×10T的匀强磁场中沿半径为R=1.66cm的圆轨道运动的α粒子的德布罗意波长是。(普朗克常量h=6.63×10-34J·s,基本电荷e=1.6×10-19C)2mv解：由牛顿第二定律和洛仑兹力公式有2evB=得Rhα粒子的动量p=mv=2eBR，又由德布罗意公式p=得λ−34hh6.63×10α粒子的德布罗意波长λ===−19−2−2p2eBR2×1.6×10×1.25×10×1.66×10−11=0.998×10(m)≈0.1Åh4.若令λ=(称为电子的康普顿波长，其中m为电子静止质量，c为光速，h为普cemce朗克常量)。当电子的动能等于

6、它的静止能量时，它的德布罗意波长是λ=λ。c22222解：电子的动能E=mc−mc，由题意电子的能量E=mc=2mc=2mck00e2222又∵E=pc+E0122h电子的动量p=E−E=3mc=0ecλhh1所以电子的德布罗意波长λ===λcp3mec3-95.在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a=0.1nm(1nm=10m)，电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量∆p=。y(普朗克常量h=6.63×10-34J·s)解：根据不确定关系∆y⋅∆p≥h，和题意∆y=a得y−34h6.63×10−24衍射电子横向动量的最小不确定量∆p===6.63×10(kg.m/

7、s)y−9a0.1×10−34ℏ1.06×10−24若用公式∆y⋅∆p≥ℏ，则可得∆p===1.06×10(kg.m/s)yy−9a0.1×106.德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是。解：德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是概率波，波函数不表示某实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。三、计算题：1.一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间，如图所示。描写粒子状态的波函数为ψ=cx(l−x)，其中c为1待定常量。求发现该粒子的概率密度和在0~l区