西南大学-量子力学02

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1、第二章　物质波与薛定谔方程§1德布罗意物质波§2微观粒子波粒二象性矛盾分析§3波函数的统计解释§4态叠加原理§5力学量的平均值和算符的引进§6Schrodinger方程§7粒子流密度和粒子数守恒定律§8定态Schrodinger方程2.1德布罗意的物质波光学特性波粒二象性物质粒子？波粒二象性？对应干涉、衍射强调了光的波动性，忽视了光的粒子性相反过分重视粒子性而忽视波动性假设：自由粒子能量E及动量的粒子相联系的波的频率及波长分别为§振幅A未确定的平面波自由粒子的平面波有波长由于h很小,只有m足够小

2、时,才会有可测量到的波长.因此,物质粒子的波动性首先在原子区域表现出来解释：自由粒子E,P一定，由上式知频率v,波矢k一定光学波自由粒子波平面波对应V,k确定1、戴维逊-革末实验戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G.P.汤姆孙一起获得Nobel物理学奖。电子衍射实验实验装置：θ法拉第园筒入射电子注镍单晶实验现象：实验发现，单调地增加加速电压，电子探测器的电流并不是单调地增加的，而是出现

3、明显的选择性。例如，只有在加速电压U=54V,且θ=500时，探测器中的电流才有极大值。实验解释：d当加速电压U=54V，加速电子的能量eU=mv2/2，电子的德布罗意波长为X射线实验测得镍单晶的晶格常数d=0.215nm理论值(θ=510)与实验结果(θ=500)相差很小，表明电子确实具有波动性，德布罗意关于实物具有波动性的假设是正确的。2、汤姆逊实验1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。1993年，C

4、rommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。3、电子通过狭缝的衍射实验1961年，约恩孙(Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm，缝间距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。X射线经晶体的衍射图电子射线经晶体的衍射图观点一:电子波应理解为电子的某种实际结构,即电子是无限多波长不

5、同的平面波叠加而成的波包,波包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度.考虑沿x方向运动的自由粒子,其平面波为等相面:相速u满足关系:1.单个平面波情况：§2.2微观粒子波粒二象性矛盾的分析在非相对论情况下,用德布罗意关系代入自由粒子的能量—动量关系真空中的相速度是k的函数结论：物质波的相速大于真空中的光速,所以它不能与设定粒子的速度相同.可得:平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实

6、相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å。波包是不同波长和相速的一些简谐波的叠加.为简单起见,这里研究一群沿x方向传播的波:波包中心将出现在相角=kx-(k)t取极值处,因为在这点附近,不同波数的分波相干叠加而加强得最厉害,而不是相消.这个极值点的位置用下式确定：即所以波包中心位置是2.有限波包：物质波包的群速度为波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k)作泰勒级数展开由于正

7、弦的幅角含有小量,C(x,t)只是随时间t和坐标x缓慢地变化.所以,我们能把C(x,t)当作近似单色波的振幅,而把k0x-(k0)t作为单色波的相.把振幅的分子和分母都乘以k,并简记为z=kx-vgt,容易看到,振幅的变化取决于因子,它有性质图2.2.1波包:一些快速振动波的叠加迄今,我们忽略了(k)级数展开中高于一阶的项,这仅当介质无色散的时候才是允许的.因为物质波在真空中也出现色散这暗示波包不保持其形式,而是逐渐地扩展.随时间的演化,电子将愈变愈“胖”,这与实验是矛盾的.观点二:

8、波动性是由于有大量的电子分布于空间而形成的象声波一样的疏密波,即电子疏密相间分布而形成的纵波.实验现象：如果入射到晶体上的电子流的强度很大,则底板上很快就出现衍射图样.如果入射电子流极其微弱,电子几乎是一个一个地被晶体反射,这时底板上就出现一个一个的点子,显示出电子的微粒性.这些电子在底板上的位置并不都是重合在一起的.开始时,它们看起来似乎是毫无规则地散布着,但足够长的时间后,底板上形成了衍射花样.这说明粒子的波动性并不依存于大量电子在空间聚集在一起,单个电子就具有波动性.解释：实验所显示的电子