2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题18圆锥曲线的综合问题教学案文含解析.doc

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1、圆锥曲线的综合问题【2019年高考考纲解读】1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．【重点、难点剖析】一、范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．(2)设E与y轴正半轴的交点为B，过点B的直线l的斜率为k(k≠0)，l与E交于另一点P.若以点B为圆心，以线段BP长为半径

2、的圆与E有4个公共点，求k的取值范围．【解析】解法一　(1)设点M(x，y)，由2＝，得A(x,2y)，由于点A在圆C：x2＋y2＝4上，则x2＋4y2＝4，即动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知，E的方程为＋y2＝1，因为E与y轴正半轴的交点为B，所以B(0,1)，所以过点B且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x1＝0，x2＝－，

3、BP

4、＝

5、x1－x2

6、＝.由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有4个，由对称性可设在y

7、轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P，T，满足

8、BP

9、＝

10、BT

11、，此时直线BP的斜率k＞0，记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k，则

12、BT

13、＝，故＝，所以－＝0，即(1＋4k2)＝(1＋4k)，所以(k2－k)(1＋k2＋k－8k2k)＝0，由于k1≠k，因此1＋k2＋k－8k2k＝0，故k2＝＝＋.因为k2＞0，所以8k－1＞0，所以k2＝＋＞.又k＞0，所以k＞.又k1≠k，所以1＋k2＋k2－8k2k2≠0，所以8k4－2k2－1≠0.又k＞0，解得k≠，所以k∈∪.根据椭圆的对称性，k∈∪也满足题意．综上所述，k的取值范围为∪

14、∪∪.解法二　(1)设点M(x，y)，A(x1，y1)，则Q(x1,0)．因为2＝，所以2(x1－x，－y)＝(0，－y1)，所以解得因为点A在圆C：x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4，所以动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知，E的方程为＋y2＝1，所以B的坐标为(0,1)，易得直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，设B(x1，y1)，P(x2，y2)因此x1＝0，x2＝－，

15、BP

16、＝

17、x1－x2

18、＝.则点P的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝，由得3y2＋2y－5＋＝0(－1＜y＜1)．　

19、(*)依题意，得(*)式在y∈(－1,1)上有两个不同的实数解．设f(x)＝3x2＋2x－5＋(－1＜x＜1)，易得函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，要使函数f(x)的图象在(－1,1)内与x轴有两个不同的交点，则整理得即所以得k∈∪∪∪，所以k的取值范围为∪∪∪.【方法技巧】1．解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与

20、量之间的转化．2．圆锥曲线中最值的求解策略(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.【变式探究】(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝.M是线段OC延长线上一点，且

21、MC

22、∶

23、AB

24、＝2∶

25、3，⊙M的半径为

26、MC

27、，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．解　(1)由题意知，e＝＝，2c＝2，所以c＝1，所以a＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.由题意可知，圆M的半径r为r＝

28、AB

29、＝·.由题设知k1k2＝，所以k2＝，因此直线OC的方程为y＝x.联立方程得x2＝，y2＝，因此

30、OC

31、＝＝.由题意可知，sin＝＝.而＝＝·，令t＝1＋2k，则t>1，∈(0,1)，因此＝·＝·＝·≥1，当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±，所以sin≤，因此≤，所以∠SOT的

32、最大值为.综上所述，∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.【变式探究】已知N为圆C1：(x＋2)2＋y2＝24上一动点，圆心C1关于y轴的对称点为C2，点M，P