2019年高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题18 圆锥曲线的综合问题（热点难点突破）理（含解析）

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1、圆锥曲线的综合问题1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求

2、AC

3、＋

4、BD

5、的最小值．解　(1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以c＝1，又因为e＝＝＝，所以a＝，所以b2＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时，直线BD的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3k2＋2)x2

6、＋6k2x＋3k2－6＝0.Δ＝36k4－4(3k2＋2)(3k2－6)＝48(k2＋1)>0恒成立．设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，

7、BD

8、＝·

9、x1－x2

10、＝＝.由题意知AC的斜率为－，所以

11、AC

12、＝＝.

13、AC

14、＋

15、BD

16、＝4＝≥＝＝.当且仅当3k2＋2＝2k2＋3，即k＝±1时，上式取等号，故

17、AC

18、＋

19、BD

20、的最小值为.②当直线BD的斜率不存在或等于零时，可得

21、AC

22、＋

23、BD

24、＝>.综上，

25、AC

26、＋

27、BD

28、的最小值为.5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为点D，右

29、焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于点E，且满足

30、DF2

31、＝3

32、F2E

33、.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x＝3交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解　(1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)．∵

34、DF2

35、＝3

36、F2E

37、，可得＝3，又＝(1，－b)，＝(x－1，y)，∴代入＋＝1

38、，可得＋＝1，又a2－b2＝1，解得a2＝2，b2＝1，即椭圆C的标准方程为＋y2＝1.∴yM＝.同理可得yN＝，∴M，N的坐标分别为，，∴k1k2＝·＝yMyN＝··＝＝＝＝＝.∴k1与k2之积为定值，且该定值是.6．已知平面上动点P到点F的距离与到直线x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mx＋ny＝1.①设直线l与圆x2＋y2＝1交于不同两点C，D，求

39、CD

40、的取值范围；②求与动直线l恒相切的定椭圆E′的方程，并探究：若M(m，n)

41、是曲线Γ：Ax2＋By2＝1(A·B≠0)上的动点，是否存在与直线l：mx＋ny＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由．解　(1)设P(x，y)，由题意，得＝.整理，得＋y2＝1，∴曲线E的方程为＋y2＝1.(2)①圆心到直线l的距离d＝，∵直线与圆有两个不同交点C，D，∴

42、CD

43、2＝4.又∵＋n2＝1(m≠0)，∴

44、CD

45、2＝4.∵

46、m

47、≤2，∴0

48、CD

49、2∈(0，3]，

50、CD

51、∈，即

52、CD

53、的取值范围为.②当m＝0，n＝1时，直线l的方程为y＝1；

54、当m＝2，n＝0时，直线l的方程为x＝.根据椭圆对称性，猜想E′的方程为4x2＋y2＝1.下面证明：直线mx＋ny＝1(n≠0)与4x2＋y2＝1相切，其中＋n2＝1，即m2＋4n2＝4.由消去y得(m2＋4n2)x2－2mx＋1－n2＝0，即4x2－2mx＋1－n2＝0，∴Δ＝4m2－16＝4＝0恒成立，从而直线mx＋ny＝1与椭圆E′：4x2＋y2＝1恒相切．若点M是曲线Γ：Ax2＋By2＝1上的动点，则直线l：mx＋ny＝1与定曲线Γ′：＋＝1恒相切．7.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1

55、，A2，右焦点为F2(1,0)，点B在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝k(x－4)(k≠0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程．解析：(1)由F2(1,0)，知c＝1，由题意得所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)因为y＝k(x－4)，所以直线l过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G在直线x＝x0上．当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，所以直线l的斜率k＝－，由得或所以N，由(1)知A1(－2,0)，A2

56、(2,0)，所以直线lA1M的方程为y＝(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝－(x－2)，所以G，所以G在直线x＝1上．当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，所以Δ＝(－32k2)2－4×(3＋4k2)·(64k2－12)＞0，得－＜k＜，x1＋x2＝，x1·x2＝，易得直