高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题教学案(文科)含解析

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1、数列的综合问题【2019年高考考纲解读】1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．【重点、难点剖析】一、利用Sn，an的关系式求an1.数列{an}中，an与Sn的关系an＝S1，n＝1，nn－1S－S，n≥2.2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列{a

2、n}中，满足an＋1＝f(n)，且f(1)·f(2)··f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.an(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．二、数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．三、数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是

3、等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．【高考题型示例】题型一、利用Sn，an的关系式求an*例1、已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前n项和Sn满足：bn＋1＝Sn＋2(n∈N)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(1)设can{c}的前n项和T.bn＝，求数列nnn解(1)∵a2＝2，a3＋a5＝8，*∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n

4、(n∈N)．*∵bn＋1＝Sn＋2(n∈N)，①*∴bn＝Sn－1＋2(n∈N，n≥2)．②b*由①－②，得n＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N，n≥2)，*∴bn＋1＝2bn(n∈N，n≥2)．∵b1＝2，b2＝2b1，∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，n*∴bn＝2(n∈N)．【感悟提升】给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn.(1)求数列{an}的通项公式

5、；an(2)若an>0，数列log232的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值．解(1)由已知a1an＝S1＋Sn，①2可得当n＝1时，a1＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2，当n≥2时，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1，②①－②得a1(an－an－1)＝an.若a1＝0，则an＝0，此时数列{an}的通项公式为an＝0.若a1＝2，则2(an－an－1)＝an，化简得an＝2an－1，即此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，n*故an＝2(n∈N)．n综上所述，数列{an}的通项公式为an＝0或an＝2.n(2)因为an>0，故an＝2.an

6、设bn＝log232，则bn＝n－5，显然{bn}是等差数列，由n－5≥0，解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，Tn最小，5(－4＋0)最小值为T4＝T5＝2＝－10.题型二数列与函数、不等式的综合问题例2、已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋λx.1＋x(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a}的通项a＝11111a－a＋>ln2.nnn＋＋＋＋23，证明：2nn4n(1)解由已知可得f(0)＝0，x＋λx∵f(x)＝ln(1＋x)－1＋x，2∴f′(x)＝－2λx－λx＋x2，且f′(0)＝0.①若λ≤0，则当x>0时，f′(x)>0，f(x)单

7、调递增，∴f(x)≥f(0)＝0，不合题意；1②若0<λ<，21－2λ则当00，f(x)单调递增，1－2λ∴当0f(0)＝0，不合题意；1③若λ≥2，则当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x≥0时，f(x)≤f(0)＝0，符合题意．1综上，λ≥2.1∴实数λ的最小值为2.1111111211(2)证明由于a2n－an＋4n＝n＋＋n＋＋n＋3＋＋2n－＋2n＋4n，1若λ＝2，由(1)