2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题（热点难点突破）理（含解析）.doc

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1、数列的综合问题1．删去正整数数列1,2,3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是(　　)A．2062B．2063C．2064D．2065答案　B解析　由题意可得，这些数可以写为12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，第k个平方数与第k＋1个平方数之间有2k个正整数，而数列12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，452共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余2025－45＝1980(个)数，所以去掉平方数后第2018项应在2025后的第38个数，即是原来数列的第2063项，即为2063.2．已知数列{an}满足0

2、a－8a＋4＝0，且数列是以8为公差的等差数列，设{an}的前n项和为Sn，则满足Sn>10的n的最小值为(　　)A．60B．61C．121D．122答案　B解析　由a－8a＋4＝0，得a＋＝8，所以a＋＝8＋8(n－1)＝8n，所以2＝a＋＋4＝8n＋4，所以an＋＝2，即a－2an＋2＝0，所以an＝＝±，因为010得>11，所以n>60.∴an＝2n2＋3n，由题意可知，项12345678910个位数54745092909∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{an}的前100项中，能被5整除的项数为40.7．设

3、x＝1是函数f(x)＝an＋1x3－anx2－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝2，bn＝log2an＋1，若[x]表示不超过x的最大整数，则等于(　　)A．2017B．2018C．2019D．2020答案　A解析　由题意可得f′(x)＝3an＋1x2－2anx－an＋2，∵x＝1是函数f(x)的极值点，∴f′(1)＝3an＋1－2an－an＋2＝0，即an＋2－3an＋1＋2an＝0.∴an＋2－an＋1＝2，∵a2－a1＝1，∴a3－a2＝2×1＝2，a4－a3＝2×2＝22，…，an－an－1＝2n－2，以上各式累加可得a

4、n＝2n－1.∴bn＝log2an＋1＝log22n＝n.∴＋＋…＋＝2018＝2018＝2018－＝2017＋.∴＝2017.8．对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的n恒成立，则实数k的取值范围为________．答案　解析　由题意可知＝2n＋1，∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，①a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n，②由①－②，得2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2，n∈N*)，则an＝2n＋

5、2(n≥2)，9又当n＝1时，a1＝4，符合上式，∴an＝2n＋2(n∈N*)，∴an－kn＝(2－k)·n＋2，令bn＝(2－k)·n＋2，∵Sn≤S5，∴b5≥0，b6≤0，解得≤k≤，∴k的取值范围是.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)，则(4n－2＋1)的最小值为__________．答案　4解析　∵Sn＝(an－1)，∴Sn－1＝(an－1－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)，∴an＝4an－1，又a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝4，∴{an}是首项为4，公比为4的等比数列，∴an＝4n，∴(4n－2＋1

6、)＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当n＝2时取“＝”．10．已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，an

7、＝3，得a1＋a2＋a3＋a1＋a2＝36⇒a3＝4＋2a，从而a2n＋1＝4＋2a＋8(n－1)＝8n－4＋2a，9由条件得解得32)，求函数f(n)的最小值；(3)设bn＝，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；

8、若不存在，请说明理由．解