第四章-线性方程组的解的结构.pptx

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1、线性代数——第4章§4线性方程组的解的结构齐次线性方程组解的性质基础解系及其求法小结、思考题非齐次线性方程组解的性质说明2．维向量的集合是一个向量空间,记作.向量空间的概念定义6设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．1．集合对于加法及乘数两种运算封闭指例2判别下列集合是否为向量空间.解例3判别下列集合是否为向量空间.解那末，向量组就称为向量　的一个基，称为向量空间的维数，并称为维向量空间．向量空间的基与维数定义8设是向量空间，如果个向量，且满足（1）只含有零向量的向

2、量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.１．解向量的概念设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程的解，则称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则也是的解.证明（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因

3、此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．证毕.１．基础解系的定义二、基础解系及其求法２．线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为现对取下列组数：依次得合起来便得基础解系说明1．方程组的基础解系不唯一．2．若是的基础解系，则其通解为定理1例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有例2证证明１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证毕．其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意

4、一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为例7求解方程组解３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形由于令（2）得出，同时

5、也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．故为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR==()()nBRAR<=２．线性方程组解的情况思考题思考题解答