复变函数与积分变换第二章.ppt

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1、任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行路，还是要靠行路人自己。科学是老老实实的学问，不可能靠运气来创造发明，对一个问题的本质不了解，就是碰上机会也是枉然。入宝山而空手回，原因在此。学习有两个必经的过程：即“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程.----华罗庚第二章解析函数§2.1解析函数的概念§2.2解析函数与调和函数§2.3初等函数§2.1解析函数的概念一复变函数的导数二解析函数概念三柯西-黎曼方程一、复变函数的导数1.复变函数的导数则称在处可导，设

2、函数在点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点，如果存在有限的极限值A，且称A为在处的导数，记作如果函数在区域D内的每一点都可导，在D内可导，此时即得的导(函)数则称P22定义2.1一、复变函数的导数2.复变函数的微分则称在处可微，设函数在点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点，若在区域D内处处可微，则称在D内可微。如果存在A，使得记作为微分，特别地，有(考虑函数即可)导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想。补3.可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可微(2)可导连续由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。对二元实函数：偏导

3、数存在可微偏导数连续。一、复变函数的导数例1解4.求导法则(1)四则运算法则P25一、复变函数的导数由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.4.求导法则(1)四则运算法则(2)复合函数的求导法则(3)反函数的求导法则其中，与是两个互为反函数的单值函数，且一、复变函数的导数二、解析函数概念则称在点解析；(1)如果函数在点以及点的邻域内处处可导，定义(2)如果函数在区域D内的每一点解析，则称或者称是

4、D内的解析函数。在区域D内解析，P25定义2.2(解析函数的由来)DGz0(3)(2)区域可导区域解析。关系(1)点可导点解析；函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多.说明(3)闭区域可导闭区域解析。奇点通常泛指的解析函数是容许有奇点的。以z=0为奇点。注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解：注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到

5、在这个点解析；注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；注解：性质(1)在区域D内解析的两个函数与的和、差、积、商(除去分母为零的点)在D内解析。(2)如果函数在z平面上的区域D内解析，则复合函数在D内解析。函数在平面上的区域G内解析，且对D内的每一点z，函数的值都属于G，二、解析函数概念极限不存在(见§1.3)讨论函数的解析性。例当时，即当时，不存在。因此，仅在点可导，处处不解析。解由有讨论函数的解析性。例解当时，当时，因此，处处不可导，处处不解析。对函数如何判别其解析性？问题寻求研究解析性的更好的方法任务！！！用定义讨论

6、函数的解析性绝不是一种好办法！三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：和在点处可微，(简称方程)函数在点处可导定理的充要条件是：P24定理2.2求导公式三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件若在处可导，则(关于C-R条件)定理（函数在一点可导的充分条件）三、柯西-黎曼方程2.区域解析的充要条件和在区域D内可微，且函数在区域D内解析的定理充要条件是：满足C-R方程。推论在区域D内存在且连续，并满足C-R方程，在区域D内解析。和的四个偏导数若函数则函数P26定理2.4可知不满足C-R方程，解由有所以在复

7、平面内处处不可导，处处不解析。讨论函数的可导性与解析性。例有由C-R方程，所以仅在点可导，处处不解析。解由讨论函数的可导性与解析性。例讨论函数的可导性与解析性。例由C-R方程，解由有处处不解析。所以仅在直线上可导，xy解由有由C-R方程可得求解得即得(常数)。(1)由解析，证由解析，为常数，证(常数)；(2)由解析，由在D内为常数，(常数)，两边分别对x,y求偏导得：①若②若方程组(A)只有零解，即得(常数)。为常数，(A)小结与思考理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法；掌握函数解析的充要条件并能灵活运

8、用.注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然