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时间:2020-01-12
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1、1.已知∠AOD=α,射线OB、OC在∠AOD的内部,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD.(1)如图1,当射线OB与OC重合时,求∠MON的大小;(2)在(1)的条件下,若射线OC绕点O逆时针旋转一定角度θ,如图2,求∠MON的大小;(3)在(2)的条件下,射线OC绕点O继续逆时针旋转,旋转到与射线OA的反向延长线重合为止,在这一旋转过程中,∠MON=_______.解:(1)当射线OB与OC重合时,∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD∴∠MON=∠NOB+∠MOB=∠BOD+∠AOB=∠AOD=α(2)∵O
2、M平分∠AOC,ON平分∠BOD∴∠MON=∠MOC+∠NOB-∠BOC=∠AOC+∠BOD-∠BOC=(∠AOC+∠BOD)-∠BOC=(∠AOD+∠BOC)-∠BOC=∠AOD+∠BOC-∠BOC=∠AOD-∠BOC=α-θ(3)如图3,∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD.∴∠AOM=∠AOC=90°,∠DON=∠BOD,∴∠MON=90°-α+∠BOD,∵∠AOD-∠BOD+BOC=180°,∴∠BOD=α+θ-180°,∴∠MON=90°-α+∠BOD=90°-α+(α+θ-180°)=(θ-α).
3、故答案为(θ-α).2.如图,两个形状、大小完全相同的含有30゜、60゜的三角板如图放置,PA、PB与直线MN重合,且三角板PAC,三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转.(1)试说明:∠DPC=90゜;(2)如图,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度,PF平分∠APD,PE平分∠CPD,求∠EPF;(3)如图,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速为3゜/秒,同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速为2゜/秒,在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM重合时
4、,两三角板都停止转动),以下两个结论数学公式为定值;②∠BPN+∠CPD为定值,请选出正确的结论,并说明理由.解:(1)∵∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB,∠CPA=60°,∠DPB=30°,∴∠DPC=180゜-30゜-60゜=90゜;(2)设∠CPE=∠DPE=x,∠CPF=y,则∠APF=∠DPF=2x+y,∵∠CPA=60゜,∴y+2x+y=60゜,∴x+y=30゜∴∠EPF=x+y=30゜(3)①正确.设运动时间为t秒,则∠BPM=2t,∴∠BPN=180-2t,∠DPM=30-2t,∠APN
5、=3t.∴∠CPD=180-∠DPM-∠CPA-∠APN=90-t,设而不求法如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC=60°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,求∠CON的度数;(2)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为______秒(直接写出结果);(3
6、)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.解:(1)已知∠AOC=60°,∴∠BOC=120°,又OM平分∠BOC,∠COM=12∠BOC=60°,∴∠CON=∠COM+90°=150°;(2)延长NO,∵∠BOC=120°∴∠AOC=60°,当直线ON恰好平分锐角∠AOC,∴∠AOD=∠COD=30°,即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC,由题意得,10t=300°∴t=30,当NO平分∠AOC,∴∠NOR=30°,即顺时针
7、旋转120°时NO平分∠AOC,∴10t=120°,∴t=12,∴t=12或30;(3)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON,∴∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)=30°,所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为:∠AOM-∠NOC=30°.24.(本题满分10分)如图1,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线A
8、B的上方.(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.如图2,经过t秒后,OM恰好平分∠BOC.①求t的值;②此时ON是否平分∠AOC?请说明理由;(2)在(1)问的基础上,若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间OC平分∠MON?请说明理由;(3)在(2)问的基础上,经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由;A
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