4、
5、z-a
6、=R待定，
7、z-a
8、>R发散下页返回上页1)幂级数的四则运算幂级数运算性质下页返回上页(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,即设幂级数的收敛半径为那末是收敛圆内的解析函数.它的和函数即(1)(3)在收敛圆内的积分可将其幂级数逐项求积得到,即2)幂级数的解析性质下页返回上页第三、四节泰勒展式2、初等函数泰勒展开式1、泰勒定理×4、解析函数零点的孤立性第四章下页返回上页3、幂级数和函数在收敛圆周上的状况时,成立,当1初等函数泰勒展开式其中泰勒级数泰勒展开式定理(Taylor)设在区域内解析,为内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,问
9、题:任一个解析函数能否用多项式函数来表达？下页返回上页将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数下页返回上页例如，故有下页返回上页仿照上例,下页返回上页背诵:常见函数的泰勒展开式下页返回上页2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.下页返回上页例如，下页返回上页再例如下页返回上页例1解典型例题下页返回上页上式两边逐项求导,下页返
10、回上页例2分析如图,下页返回上页即将展开式两端沿C逐项积分,得解下页返回上页练习例3例4下页返回上页例3解下页返回上页例4解下页返回上页定理4.16如果幂级数的收敛半径R>0,且则f(z)在收敛圆周C:
11、z-a
12、=R上至少有一奇点,即不可能有这样的函数F(z)存在,它在
13、z-a
14、15、的解析函数以a为m阶零点的充要条件为:其中在点a的领域内解析且例1函数在原点的性质例2函数的全部零点及它们的阶下页返回上页练习是五阶零点,是二阶零点.答案的零点及阶数.求下页返回上页定义如果函数在不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.例3是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.孤立奇点下页返回上页简言之:不恒为零的解析函数的零点必是孤立的.定理4.18解析函数不恒为零且无异于a的零点.则必有a的一个邻域,使得在其中推论4.19设函数内解析,则简言之:零点不孤立，解析函数恒为零下页返回上页
16、1、泰勒定理问题:任一个解析函数如何用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.下页返回上页由柯西积分公式,有其中K取正方向.则下页返回上页下页返回上页由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内？有定义吗下页返回上页令则在K上连续,即存在一个正常数M,下页返回上页下页返回上页在内成立,从而在K内圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在的泰勒展开式,在泰勒级数下页返回上页如果到的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展开式在 内成立．因为凡满足的必能使由上讨论得重要定理——泰勒展开定理在的泰勒级数的收敛半径至少等于 ，但下页返回上页泰勒定理其中泰勒级数泰勒展
17、开式定理设在区域内解析,为内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当下页返回上页说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么?)下页返回上页因为 解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？下页返回上页那末即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.下页返回上页小结与思考1.通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个
18、基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.2.会判断解
