解析函数的泰勒展式课件.ppt

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1、第三节　解析函数的泰勒展式1.泰勒定理2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况3.一些初等函数的泰勒展式第十五讲在数学分析中函数是大家非常熟悉的。这是为什么？在实数域内无法弄清,而在复数域中注意到f(x)在整个实数域有任意阶导数，而上式右边的幂级数仅在（-1，1）内收敛。一、泰勒定理其中定理4.14且展式是惟一的.积分形式微分形式证明由柯西积分公式,有由于.K.内任意点故下证唯一性,设另有展式由定理4.13知故展式唯一.由z的任意性，定理前半部分得证。注:显然(4.8)的收敛半径大于或等于R.定义4.6泰勒展开式泰勒级数刻划解析函数的第四个等价定理定理4.15注二、幂

2、级数的和函数在其收敛圆周上的状况定理4.16证明由有限覆盖定理,CaRρ这与假设相矛盾.注1该定理给出了确定收敛半径R的方法.例1解它们是和函数的两个奇点,故知收敛圆为注2即使幂级数在其收敛圆上处处收敛,其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.例注3该定理一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂数所代表函数的性质间的关系,同时解决了一开始提出的问题,因为现在我们弄清楚了还表明幂级数的理论只有在复数域内才能弄得完全明白.三、一些初等函数的泰勒展式常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由泰勒定理计算系数例1故有解仿照上例,2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函

3、数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.例2解由等比级数的求和公式有注:从上式有例3解而因为所以附:常见函数的泰勒展开式例4解3、典型例题上式两边逐项求导,例5分析如图,解即将展开式两端沿C逐项积分,得例6解例7解取主值支按复合函数求导法则得连续求导得得Taylor系数为例8解法一所以故其Cauchy积也绝对收敛,因为解法二例9解例10解小结通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的

4、方法,能比较熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数.作业P178习题(一)5(2)(5),7(1)(3)