§4.3 解析函数的泰勒展式

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1、§4.3解析函数的泰勒展式4.3.1.泰勒(Taylor)定理4,3,2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况4.3.3.一些初等函数的泰勒展式(4.9)D定理4.14(泰勒定理)设f(z)在区域D内解析,a∈D,只要K:

2、z-a

3、

4、u

5、<1).(4.10)总有一个圆周:使点z含在中虚线表).由柯西积分公式得azD图4.1的内部(图4.1表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此该写：(4.11

6、)我们设法将被积式:由时,由于应用公式(4.10),我们有右端的级数在上(关于)是一致收敛的.以上的有界函数相乘,仍然得到上的一致收敛级数.于是(4.11)表示为上一致收敛级数由定理3.13知最后得出其中的系数cn由公式(4.9)给出.上面证明对于任意z∈均成立,故定理的前半部分得证.下面证明展式是唯一的.设另有展式由定理4.13(3)即知(n=0,1,2,…),故展式是唯一的.定义4.8(4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式,(4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.定理4.15f(z)在区域D内解析的充要条件为:f(z)在D内任

7、一点a的邻域内可展成z-a的幂级数,即泰勒级数.由第三章的柯西不等式知若f(z)在

8、z-a

9、0,且则f(z)在收敛圆周C:

10、z-a

11、=R上至少有一奇点,即不可能有这样的函数F(z)存在,它在

12、z-a

13、

14、z-a

15、

16、z-a

17、

18、于f(z),故在z=a处它们以及各阶导数有相同的值。因此级数也是F(z)的泰勒级数而它的收敛半径不会小于R+ρ,这与假设矛盾.根据有限覆盖定理,我们就可以在这些圆O中选取有限个将圆O覆盖了.这有限个圆将构成一个区域G,用ρ>0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10a注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的

19、完全明白.4.3.3一些初等函数的泰勒展式