复变函数解析函数的泰勒展式

《复变函数解析函数的泰勒展式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、解析函数的泰勒展式教学目标：掌握泰勒定理及利用泰勒系数公式展开一些初等解析函数教学重点：泰勒定理及应用教学难点：泰勒定理的证明定理4.14（泰勒定理）设　在区域内解析，只要圆含于,则在内能展成幂级数泰勒展式其中系数泰勒系数且展式是唯一的。设函数f(z)在圆内解析，那么在K内，简单说法：证证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式定理4.1的证明：由于当时，又因为定理4.1的证明：所以上式的级数当时一致收敛。把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得定理4.1的证明：其中由于z是U内任意一点，定理

2、的结论成立。2．幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况定理4.16如果幂级数的收敛半径且则在收敛圆周上至少有一奇点。即不可能有这样的函数　　　存在，它在内与恒等，而在C上处处解析。3．一些初等函数的泰勒展式下面给出几个初等函数的泰勒展式，它们的形式与数学分析中大家熟知的形式是一致的。如解因在　　　内解析，故展开后的幂级数在　　　　内收敛。已知例４.３将　　　在展开成幂级数。当　　　　　时将两式相乘得（按对角线方法）例4.5将　　　　　及展为的幂级数。解因同理两式相加除以2两式相减除以　　　得例4.6试将函数按　　　

3、　　的幂展开，并指明其收敛范围。解第四节零点的孤立性与唯一性原理1.解析函数零点的孤立性定义4.7设在解析区域一点的值为零，则称为解析函数的零点称为的级零点。若定理4.17不恒为零的解析函数　　　以　　为　　　级零点的充要条件为：其中　　　　　在点　　的邻域内解析，且证必要性由假设，只要令即可。充分性是明显的。例4.7考察函数在原点　　　　的性质。解显然　　　　　在　　　　解析，且为的三级零点，因如在　　　　　　内的解析函数　　　不恒为零，　　　为其零点，则必有　　的一个邻域，使得　　　　　在其中无异于　　　的

4、零点。（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。）定理4.20（唯一性定理）设（1）函数和在区域内解析；（2）内又有一个收敛于的点列，在其上和　　相等。则和在内恒等。例4.9设（1）　　　　　在区域　　内解析；（2）在　　　　内，试证：在　　内或证若有　　　　使因　　　　在点　　　连续，故存在邻域　　　　，使在　　　内　　　　　恒为零。而由题设故必.由唯一性定理定理4.23（最大模原理）设　　　　　在区域　　内解析，则　　　在　　　内任何点都不能达到最大值，除非　　在内恒等于常数。