复变函数课件--复变函数5泰勒级数.ppt

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1、§3泰勒级数设函数f(z)在区域D内解析,而

2、z-z0

3、=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D,把它记作K,又设z为K内任一点.z0Kzrz按柯西积分公式,有且z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成在K内成立,即f(z)可在K内用幂级数表达.q与积分变量z无关,且0q<1.z0KzrzK含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数M使

4、f(z)

5、M.因此,下面的公式在K内成立:称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果

6、z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0的泰勒展开式在圆域

7、z-z0

8、

9、z-z0

10、

11、a-z0

12、.yz0ax任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法例如,求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(e

13、z)(n)=ez,(ez)(n)

14、z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:[解]由于函数有一奇点z=-1,而在

15、z

16、<1内处处解析,所以可在

17、z

18、<1内展开成z的幂级数.因为例1把函数展开成z的幂级数.例2求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的

19、幂级数展开式.[解]ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在

20、z

21、<1展开为z的幂级数.-1OR=1xy推论1：注：推论2：推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)例如：推论4：例如：而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数1-z2+z4-…它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范

22、围内,展开式的成立必须受

23、x

24、<1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.§4洛朗级数一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.讨论下列形式的级数:可将其分为两部分考虑:只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为R2：这是z的幂级数,设收敛半径为R：对负幂项,

25、如果令z=(z-z0)-1,就得到：则当

26、z-z0

27、>R1时,即

28、z

29、

30、z-z0

31、

32、z-1

33、<1内也可以展开为z-1的幂级数:1Oxy定理设f(z)在圆环域R1<

34、z-z0

35、

36、域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2,K2的半径R大于K1的半径r,且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西积分公式得R1R2zrK1zRK2zz0因此有如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示:Cz0R1R2称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1<

37、z-z0

38、

39、,一般可以用代数运算,代换,求导和积分