函数的泰勒级数.ppt

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1、第五节函数的泰勒级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、欧拉公式一、泰勒(Taylor)级数上节例题给出f(x),是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数，即：问题:1.如果能展开,an是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.若函数f(x)在x0的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒(Taylor)公式,则在该邻域内有:回顾：问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.定义如果f(x)在点x0处任意阶可导,则幂级数称为f(x)在点x=x0的泰勒级数.称

2、为f(x)在点x=0的麦克劳林级数.可见在x=0点任意可导,充分性证明必要性泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数证明二、函数展开成幂级数的方法1、直接展开法(泰勒级数法)若f(x)在点x=0处各阶导数存在,将f(x)展为x的幂级数步骤如下:例1例2例3牛顿二项式展开式注意常见函数的关于x的幂级数展开式2、幂级数的间接展开法根据唯一性，从常见展开式出发，通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法，求出给定函数展开式的方法.例如常见函数的关于x的幂级数展开式常见函数的关于x的幂级数展开式例1将下列函数展开成x的幂级数.(

3、2)f(x)=arctanx(3)f(x)=ln(1+x)(4)f(x)=ln(a+x)(a>0)常见函数的关于x的幂级数展开式例7常用函数的幂级数展开式课本Page264(8)—(15)式常见函数的关于x的幂级数展开式常用已知和函数的幂级数三、欧拉公式复数项级数:复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系.欧拉公式三、小结1、如何求函数的泰勒级数;2、泰勒级数收敛于函数的条件;3、函数展开成泰勒级数的方法.函数展开成幂级数的间接展开法.两类问题:在收敛域内和函数s(x)求和展开练习题练习题答案