函数的泰勒级数(III)

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1、第五节函数的泰勒级数一、泰勒(Taylor)级数的概念二、函数展开成幂级数的方法一、泰勒(Taylor)级数的概念其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:为f(x)在处的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,定理各阶导数,则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有必

2、要性：若在内可展开成泰勒级数，而根据泰勒公式，又有即有故充分性：设由泰勒公式得于是即的泰勒级数在内收敛并且和函数为说明:(1)如果函数f(x)在内能展开成的幂级数证:设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.那么这个幂级数必定是泰勒级数，即的幂级数展开式是唯一的。(2)当在内有各阶导数时，它的泰勒级数只是用作为系数而形式地构造出来的一个幂级数，这个幂级数即使在内的每点处收敛，也未必收敛于。关键在于泰勒公式中的余项是否满足：二、函数展开成幂级数的方法1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径

3、R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0;展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开第四步当时，检查所求得的幂级数在收敛区间的端点处的收敛性.例1.将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(在0与x之间)故得级数例2.将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足类似可推出:2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例3.将函数展开成x的幂级数.解:因为将所给函数展开成幂级数.例如：令由于把代入上式就得例4.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定

4、义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛例5.将函数展开成x的幂级数因为，解:将上式从0到逐项积分，而且可得当时，上式右端的级数是收敛的,在处又是连续的.因此而例6.将函数展开成x的幂级数,其中是任意不为零的常数.解:当是正整数时,，当时，，而当时，由此得现设非零常数，因为故于是得幂级数它的收敛半径故在开区间内，上述幂级数收敛，记它的和函数为。推导验证为避免分析余项,采用下面方法证明是方程的解称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与有关.(2)当为正整数时,级数为x的次多项式,上式就是代数学中的

5、二项式定理.由此得对应的二项展开式分别为例7.将函数展开成的幂级数。解:因为由得例8.将函数展开成的幂级数。解:由于其中因此内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当=–1时思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:备用题1.将函数展开成x的幂级数解:x＝±1时,此级数条件收敛,因此2.将在x=0处展为幂级数.解:因此3.将展成解:的幂级数.4.将展成x－1的幂级数.解: