4 函数的泰勒级数.ppt

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1、§5函数的Taylor级数Taylor级数函数的Taylor展开式幂级数的简单应用一Taylor级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?1Taylor级数概念证明2幂级数展开的唯一性问题泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数函数的幂级数展开式是唯一的。问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.3函数展成它的Taylor级数的条件可见在x=0点任意可导,证明必要性充分性二函数的Taylor展开式1.直接法(泰勒级数法)步骤:例1

2、解例2解例3解两边积分得即牛顿二项式展开式注意:双阶乘2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如例4解例5解例6解例7解例8解例9解例10解三幂级数的简单应用1求某些函数项级数的和函数；2做近似计算。例11解例12解欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位. 欧拉是18

3、世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。 欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。欧拉(Euler)公式则称①收敛,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数①绝对收敛则称①绝对收敛.由于,故知定义:复变量的指数函数为易证它在整个

4、复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数当x=0时,的幂级数展式一致.（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有P293Euler公式小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法.Hw：p2232(4,5)，3(2)，4,5,6.练习题练习题答案