一类非线性时滞函数方程的振动准则.pdf

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1、第23卷第1期广东石油化工学院学报V01．23No．12013年2月JournalofGuangdongUniversityofPetrochemicalTechnologyFeb．2O13一类非线性时滞函数方程的振动准则吴英柱(广东石油化工学院理学院，广东茂名525000)摘要：主要研究非线性时滞高阶函数方程(f—r)=P(t)(f)+蓥(￡)直I(t一(磅+)r)Isign(一(吩+)r)的解的振动性，利用迭代法，得到该方程解振动的若干个充分条件。关键词：函数方程；非线性；变系数；振动准则中图分类号：O177文献标识码：A文章编号：

2、2095—2562(2013)01—0055—03考虑连续变量的高阶非线性差分方程(t—r)=P(t)(t)+∑Qf(t)ⅡI(t一(后，+i)r)Isignx(t一(，+i)r)(1)l1J。1其中Ij}1为正整数，口f为非负实数，=1，2，⋯⋯，s且∑ai=1，函数P(t)Q(t)(i=1，2，⋯，m)，，一R=(0，∞)，，是R上一个无界子集，g(t)：，，且g(￡)不恒等于t，limg(t)=∞。定义g为g的i次迭代，即：g。(t)=t，g“(t)=g(g(t))，i=0，1，2⋯，tE，。1994年，Golda和Werbows

3、ki首先对方程(g(t))=P(t)(t)+Q。(t)(g(t))(2)的解的振动性进行了研究，得到了函数方程的解的振动性的若干个充分条件。近年来，差分方程和泛函微分方程的振动性研究得到了迅速的发展(参见文献[1—3]及其引文)。函数方程的振动性研究还刚刚开始，对类似方程作过讨论可见文献[3—6]。周勇等得到了一类方程一切解振动的几个充分条件，并且给出了它们在非线性差分方程中的一些应用，对应于线性的情形，而文献[5]的结果也推广和改进了文献[3—4]的结果。最近文献E6]讨论了一类带有连续变量的泛函方程解的振动性。本文受文献[3—5]等

4、的理论方法的启发，证明一类时滞泛函方程解的振动性的若干个充分条件。1引理为了证明主要结果，我们先给出如下引理及其证明过程。记。引理l：()如果>，则方程一1+一=0(3)没有正的实根。)如果o≤A≤，则方程(3)在区间[(K+1)壶，1]上存在唯一的实根。引理2：设0≤A≤，定义序列[]：：，如下：l=1，+1=1—，=1，2⋯，(4)则≤≤1，，l：1,2⋯，且lim：．这里是方程(3)在区间[(+1)]1iA1，1]上唯一的实根。收稿日期：2012—09—20；修回日期：2012一lO一23作者简介：吴英柱(1978一)，男，广东化

5、州人，硕士，讲师，主要从事常微分方程与动力系统研究。56广东石油化工学院学报2013年2主要结果定理1：假设i直(茸。—kr)=A>(5)则方程(1)的一切解振动。证明：假设方程(1)有一个非振动解(t)，不妨设(t)>0，t∈，，t≥t∈，，因lira(t—r)=∞，故，—I—’∞存在t2∈，，t2≥tl，使得(t一)>0，t∈，，t≥t2。因此由(1)，得(t—r)≥P(t)(t)，通过迭代，有k．+t—l(t一(K+i)f)≥ⅡP(t—Kr)(t—r)(6)将(6)式代入(1)式，得rtlSf．(￡一r)=P(t)x(￡)+l∑Q

6、i(t)H，II，P(f—kr))'(￡一r)(7)l1，=IKI由条件(5)，存在一个e>O，和t3≥t2，使得￡∈，，t≥t3时，聋(1￡)直(茸lP(t—一kO)≥A一-￡>(8)将(8)式代入(7)式，有(t—r)≥P(￡)(￡)+(A一￡)(—r)，即(t—r)≥(￡)，由上式再迭代，得(t一(+)r)≥)“。’HP(t—Ji}r)(￡一r)，将上式代人(1)式(注意到：F音>1)，得：(t—一r)≥P(f)(￡)+蓦‘∑#lQf(t)直，HI[(丁■=了、』^，)“；，P(f—)(￡一r)]’≥P(t)(￡)+F赤．]蔷Q；

7、(c)娶．+HI—lP(t—k)(t—r)≥P(t)(￡)+T_=](A—e)(t—r)令yl=[习](A—e)，重复上述过程，得(t-r)≥(t)，上式迭代得(t一(磅+i)r)≥()_1茸1P(f—)(一r)，代入(1)式得(￡一r)≥P(￡)(t)+()(A一￡)(t—r)，令y：=())(—e)，有(t-r)≥(f)，重复上述过程，得(一r)≥P(f)(t)+y(t—r)，n=1，2⋯。这里yn=F)(A一￡)(9)用数学归纳法不难证明：1>⋯>y>一l>⋯>yl>(A—e)，因此limy=存在，令一∞，(9)式两边取极限，得y

8、()(A—e)。令=1一，则有一l+(A—e)一=0(10)又因A—e>，由引理1之()知(10)式无正实根，与y存在矛盾。定理得证。定理2：假设卜卜+liIra．∞iIlfi蓥∑=IQ’；(t)王H=1[