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《微积分上课后习题答案解析试卷5-6.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.6线性常系数非齐次方程1.二阶线性常系数非齐次方程y′′+py′+qy=f(x)(p、q为常数）对应齐次方程y′′+py′+qy=,0非齐次方程的通解y=y+y0,关键点：如何求特解y0？求可y以用常数变易法.0但常数变易法太麻烦，因而，当自由项f(x)形式较为特殊时，可以选择较为简便的方法.自由项常见类型P(x)−−n次多项式,nαxPn(x)e,α为实常数αxPn(x)ecosβx,α、为实常数βαxPn(x)esinβx.α、为实常数β待定系数法:根据自由项的形式，预先给定特解的形式（形式中包含待定的常数），再把形式解代入方程确定形式解中包含的待定常数
2、的值。αx自由项Pn(x),Pn(x)e,αxP(x)eαxsinx.Pn(x)ecosβx,nβ可用()ωx()统一表示.Pxeω=α+iβn当α=,0β=0时,即ω=0⇒P(x)nαx当α≠,0β=0时,即ω为实数⇒P(x)en当α≠,0β≠0时,即ω为复数αx⇒P(x)e(cosβx+isinβx)nωxPxeω=α+iβ由5.4节定理6知，方程以n()()为自由项时，解的实部是自由项为αxP(x)ecosβx的方程的解，解的虚部是自由项nαx()sinβ的方程的解。为Pnxex()ωx()故只讨论y′′+yp′+qy=Pxeω=α+iβnωx设上述方程的
3、特解为y=Q(x)e0Q(x)为待定多项式(定次数,定系数)ωxωxy′=Q′(x)e+ωQ(x)e0ωxωx2ωxy′′=Q′′(x)e+2ωQ′(x)e+ωQ(x)e0ωxωx2ωx代入方程得Q′′(x)e+2ωQ′(x)e+ωQ(x)e+ωxωxωxωxpQ′(x)e+pωQ(x)e+qQ(x)e≡P(x)en整理得2Q′′(x)+2(ω+p)Q′(x)+(ω+pω+q)Q(x)≡P(x)n2Q′′(x)+2(ω+p)Q′(x)+(ω+pω+q)Q(x)≡P(x)n这是两个多项式的恒等式，可用同次幂系数相等确定Q(x)根据上述恒等式的形式,注意到方程对应的
4、齐次方2程的特征方程为r+pr+q=,0故分三种情况讨论:2)1(当ω+pω+q≠0时,即ω不是对应的齐次方程的特征根.ωx则非齐次方程的特解为y=Q(x)e0n2)2(当ω+pω+q=,0但2ω+p≠0时,ω是对应的齐次方程的单特征根.ωx则非齐次方程的特解为y=xQ(x)e0n2)3(当ω+pω+q=,0且2ω+p=0时,ω是对应的齐次方程的2重特征根.2ωx则非齐次方程的特解为y=xQ(x)e0n综上讨论设y=xkQ(x)eωx,0n⎧0ω不是特征方程的根（k是重根次数）⎪k=⎨1ω是特征方程单根⎪⎩2ω是特征方程重根2例1(书中例1)求方程y′′+y=x
5、+x的通解。解：这是二阶线性常系数非齐次方程，自由项2Px=x+xω=中n(),.0对应齐次方程为y′′+y=02r=±i特征方程为r+1=0特征根为2,1齐次方程通解为y=c1cosx+c2sinxQω=0不是特征方程的根,自由项为2次多项式.2设原方程的特解为y0=ax+bx+c，其中a,b,c为待定常数.22将y0=ax+bx+c代入方程y′′+y=x+x22得ax+bx+c+2a=x+x⎧a=1⎪知⎨b=1⎪⎩2a+c=0得a=,1b=,1c=−22y=x+x−原方程特解为02原方程的通解为2y=y+y=ccosx+csinx+x+x−20122例2(书
6、中例2)求方程y′′+y′=x+x的一个特解。解：这是二阶线性常系数非齐次方程，自由项2Px=x+xω=中n(),.0对应齐次方程为y′′+y′=02特征方程为r+r=0特征根为r1=,0r2=−1Qω=0是特征方程的根,自由项为2次多项式.2y=xax+bx+c设原方程的特解为0()，其中a,b,c为待定常数.22将y0=x(ax+bx+c)代入方程y′′+y′=x+x22整理得3ax+6(a+2b)x+2(b+c)=x+x⎧3a=1⎪知⎨6a+2b=1⎪⎩2b+c=011a=,b=−,c=1得321312y=x−x+x特解为0322x例3（书中例3）求y′′
7、+y′=e的通解。解：这是二阶线性常系数非齐次方程，自由项Px次多项式ω中n()=0(1),=.2对应齐次方程为y′′+y′=02特征方程为r+r=0特征根为r1=,0r2=−1−x齐次方程通解为y=c1+c2eQω=2不是特征方程的根,自由项中为0次多项式,2xy=ae,其中a为待定常数。故设原方程特解为02x2x将y0=ae代入方程y′′+y′=e2x2x得6ae=e112xa=y=e06612xy=e0原方程特解为6−x12xy=c+ce+e原方程的通解为1262x2例4(书中例9)求y′′+y′=e+x+x的特解解：根据线性微分方程的性质，可先分别求方程
8、2x2y′′+y′=e和
