巧用三角函数解函数值域问题.pdf

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1、46旬，，思想方法解题中心、℃§‘cc-：cf、一。_

2、三角函数解函数值域问题王改珍(东北师范大学数学与统计学院)笔者最近在做题的过程中，发现有这样一道题：不发生变化，想到令z一一+(一号+)sinz求函数的值域：(1)Y一厨+；(2)．y一~／=(OE[o，号])，其中一为定义域左端点的值，一言4-、聂．对于这类无理函数的值域问题，初看一般有如下+鲁为定义域两端点值之差．这样换元后，原函数就两种传统的解题思路：一是通过平方去掉根号，再根化成大家所熟悉的函数—msin04-／／COSO(m，据二次函数的一些性质求值域；二是换元法，令其中一

3、项等于t，将原函数化为关于t的函数，再求解．这ER，∈10，号J)的形式，问题便可以轻松地解两种方法大家比较常用，但实际操作起来却没有那么决了．容易．于是，当学生遇到这类问题时，首先从心理上就会产生畏惧感．为了帮助大家更好地解决这类无理函解：令一一鲁口+(＼一；a十口)，sin，OE[lo，号]】，数的值域问题，笔者查阅了一些复习参考资料，发现其中针对具体的题目给出了相对简单的解决方法，但则一√口[～+(一号+鲁)sin。]+6却没有对一般的情况进行深入探讨．下面笔者对于一般的情况给出解题过程，并说明这种方法的优势．+√c+[一+(一号+

4、)sin]问题：求函数Y一~／口z+6+√c+z的值域，其一√6一警sin+√c～c。s中a，b，C，dER(a，d≠O)且使函数有定义．分析：首先，求函数的定义域．由于。、b、c、d的大=#bq-cadcbadsin(+)，小关系以及取值正负都是未知的，但不难发现，只有a、d在求定义域时起着关键作用，因此只需对a、d进厂—丽行分情况讨论．其n一n[L。，孙一(1)当a、d同号时，显然该函数在其定义域内为Cd单调函数，可以根据函数的单调性直接求其值域；’(2)当a、d异号时，不妨设口>0，d<0，此时函数··+∈I，号+I．广L_1定义域

5、为l一旦，一号1．即sin(O+qg)E[min(sin，COS)，1]，L““J因此，我们主要对(2)进行讨论．’．[n(，)，c一警一观察函数一~／nz+6+~／c+，为了去掉根从而，综合(1)(2)我们就可以解决这类一般无理号，我们发现，如果能够利用三角函数的有关知识函数的值域问题了．sin+COS一1，将一个根号下构造成7n。sin0，另一回过头来考虑刚开始提到的题：个根号下构造成nCOS0(，∈R，∈l0，-6-1)的(1)由题可知口=：=1，6一一2，f一3，一一1，、LJ形式，问题就会简化很多．同时由于原函数根号下都所以b+

6、cacbd一bd一1，，r一-1含有常数项，且知道sin在0El0，_等_l上是单调递增L厶_J√6一警一，函数，因此，为了将常数项去掉且保证原函数定义域锵趣中思想方法

7、⋯i、“2妣n喃7虻⋯、c。0i372011年茸第罱弋2强期I上

8、旬羁，中学数学教学参考不同底数的指数函数增长快慢的再两个函数图象上下方的分界点与函数值增长快慢的分界点可以不是同一个点．孙浩盛蒿广钦(安徽省涡阳县第四中学)1问题提出一2一lO123lO一20．250．5l2481024《数学1》(北师大版普通高中课程标准实验教科Y=30．110．33l392759049书

9、，下同)第三章“§3．3指数函数的图象与性质”中借助一2和一3的图象探讨了底数口对函数图我们不妨借助该表格中的数据来分析当xO时，逐渐增大，其函数值增加越快．了0．25，而一3的函数值增加了0．22．此时，Y一2为什么要限制“z>0”呢?的函数值增加更快．当x

10、时，结论不变．由此可见，当x13假象剖析时，指数函数—n是增函数，并且当n越大时，其函教材中通过列表(如下)，分析了当x>O时函数数值增长就越快．”增长快慢的差异．再如，《数学1》中有如下习题：从而函数的值域为E1，√2]．回顾整

11、个思考的过程，不难发现，本质还是想办(2)由题可知口一1，b一一4，f一15，d一一3，法将大家所不熟悉的问题通过某种变形转化成所熟悉的问题，进而利用熟悉的知识解决问题．于是，这个甄以~／b+