探究三角函数值域问题的处理方法-论文.pdf

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1、江苏省盐城市明达中学万玲三角函数也是一种基本初等函数，是在解(1)原函数化简为_厂(z)一COS2前面学的代数函数的基础上的延伸和拓展，因此，在学习中应注意体会三角函数与一般+l+sin2叫+1一in(2+寻)+2．函数之间的个性与共性的关系．因为丁一一詈，所以一2．在中学数学中，求三角函数值域或最值问题，是非常重要的一种题型，也是高考考(2)厂(z)一sinf4x+T)+2．查的重要方面，在多年的高考中都有涉及．本文试图通过对几类三角函数值域或最值因为z∈lo，手l，所以4x+问题的处理，来看它与一般函数之间的关

2、系．∈[，题型一：利用三角函数有界性此类题目要求把原来题目提供的三角所以一≤sin(4x十{)≤1．函数利用三角变换化简成y=Asin(wx+)所以1≤厂()≤2+√2．+B形式，再用三角函数有界性和数形结合所以厂()的值域为『1，2+]．思想求值域或最值．例1已知函数—sinzx+2sinzc。sz点评这类题型是根据三角函数独有一3COSz，z∈R．的个性——有界性解题，这是高中数学的一(1)求函数的最小正周期；种重要数学思想方法．总体的桥梁是要把考(2)求函数的最大值．察的函数表达式转化成Y=Asin(∞z+)

3、+B形式，观察例1，例2中给出的已知条件，解原函数化简为—+从函数表达式的形式上看，两者都可以看做是关于三角函数的“二次式”，是sin，sin2x-3一sin2一2c。s2z一1COS。，sin5CCOSz三者组合而成的，前两个可—4~-sin(2z+)一1，(其中tan一一2)以化为COS2x，后一个可以化为sin2x，从而利用辅助角公式：asin32+bcos===(1)T一===7c．~／n。+b．sin(z+)，其中tan一，得到(2)因为zER，所以sin(2x+)E[一1，1]．原函数的值域．此时需要格

4、外注意的是，所以Y⋯一一1．sin(x+9)是否能取到一1和1，会直接影响到原函数的最值．例2已知厂(z)：=：2c。sz+2sin．题型二：利用换元法c。sc+1(>0)的最小正周期为号．在三角函数求值域或最值问题中，有一(1)求∞的值；类问题可通过换元，把它转化成二次函数或其他类型函数问题，我们可以细细体会三角(2)当z∈lo，T兀l时，求-厂(z)的值域．函数与其他函数的联系与综合．当然在解此enii{ii{l{㈣￡)一1一圈1，由函数图象知：当(1)设CA0===0(rad)，铁丝总长为∈(一Cx：Dy-丢

5、)时，函数厂()>丢，且单调(m)，试写出Y关于的函数解析式，并写出函数的定义域．递增；当∈(一1，+。。)时，函数厂()<丢，(2)当BC取多长时，铁丝总长Y有最小值?并求此最小值．且单调递增．联系∈[一1，一1)u(一1，11，于是：解(1)CO一tan0，A1C一，C0S当￡一～1t,t,y一1；当f一1时，一1．BC=2一~J2tan，一(2一~／2tan)+2丌·+3·一n++2+2，所以值域为(一Cx3，告]u[1，+。。)．∈(0，]，其中tan一．-点评三角函数是一类特殊的函数，数学中的换元法、化归

6、思想等不但是一般函数(2)由一_0，解得求值域的方法，也是三角函数求值域的有力sin一1武器．观察各个函数表达式的结构，不再是．类型一中极有规律的“二次式”，它们既有分函数在定义域内为先减再增，所以当式形式，也有“一次”和“二次”的组合，此时in一时，取得最小值．换元法应运而生，神奇地将三角函数转换成我们比较熟悉的一些基本初等函数，从而轻此刚一'tan一，BC=2一易求得最值，特别要注意的是转换前后各自的定义域与值域的变化．题型三：利用导数×=导，一6+2．在导数运算中，给出常见函数的导数，所以当BC=3~，一6+

7、2．包括正弦、余弦函数，(sinz)一COSz，(COS)一一sinz，(tanz)一f兰1：==点评在中学数学中，导数经常作为研、COSLz，究函数性质的重要工具，此题给的函数较为1÷．在三角函数值域问题中，有一类函数复杂，不能转化成题型一、二的形式，此时借助导数求解更为方便．比较复杂，需借助导数来解题．近年来的高考数学试卷中，三角函数求例4一个圆环O的直径为2m，通值域问题一般作为基础题或中档题出现，而过铁丝CA1，CA2，CA3，BC(A】，A2，A3是圆解法基本上可以划归为上述三种通常的方上三等分点)悬挂在

8、B处，圆环呈水平状态法．只要同学们仔细审题，合理转化，就能圆并距天花板2m，如图1所示．满解决问题．毋。；l一’f∥。堪i倒缸ce~t：