三角函数值域 求三角函数值域的常用方法

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1、三角函数值域求三角函数值域的常用方法中学生数学·２０１４年５月上·第４８９期（高中）甘肃省康县第一中学（７４６５００）　杜红全　　三角函数的值域（或最值）问题是历年高考例３　求函数ｙ＝ｃｏｓｘ－４的值域．考查的内容，解答中应结合三角函数的特点，选分析　本题可将原函数中的ｃｏｓｘ用ｙ表取不同的方法．下面举例说明，以供参考．示出来，然后利用－１≤ｃｏｓｘ≤１解出ｙ的范围一、直接法即可．例１　求函数ｙ＝３－ｃｏｓ２ｘ的值域．解　由原函数解析式得　ｃｏｓｘ＝ｙ＋４，分析　将２ｘ看成一个整体，利用余弦函∵　－１≤ｃ

2、ｏｓｘ≤１，数的值域求得．∴　－１≤ｙ＋４≤１，解　∵12　－１≤ｃｏｓ２ｘ≤１，解之得　－５≤ｙ≤－３，∴　－２≤－２ｃｏｓ２ｘ≤２，∴　原函数的值域为［－５，－３］．∴　１≤３－２ｃｏｓ２ｘ≤５，即例　１≤ｙ≤５，４　求函数ｙ＝ｃｏｓｘ－１的值域．∴　函数ｙ＝３－ｃｏｓ２ｘ的值域为［１，５］．分析　可将原函数中的ｃｏｓｘ用ｙ表示出点评　对于形如ｙ＝ａ＋ｂｓｉｎｘ（ｘ∈Ｒ），ｙ＝来，再利用－１≤ｃｏｓｘ≤１解出ｙ的范围即可．ａ＋ｂｃｏｓｘ（ｘ∈Ｒ）的函数都可以用直接法求值解　由ｙ＝域．ｃｏｓｘ－１，二、

3、单调性法得　ｃｏｓｘ＝ｙ－１，例２　求函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ（π－ｘ）＋４在ｘ又∵　－１≤ｃｏｓｘ≤１，∈［－６２］上的值域．∴　－１≤ｙ－１≤１，分析　原函数可化为ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎｘ＋４，由正弦函数在ｘ解得∈12［－　ｙ≥６２］上是增函数，即可求２，得原函数的值域．∴　原函数的值域为２，＋∞）．解　原函数解析式可化为点评　对于形如ｙ＝ａ＋ｂｓｉｎｘ（ｘ∈Ｒ），ｙ＝ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎｘ＋４，ａ＋ｂｃｏｓｘ（ｘ∈Ｒ）或形如ｙ＝∵　ｙ＝ｓｉｎｘ在区间［－ｃｓｉｎｘ＋ｄ，ｙ＝６２］上是增函数，∴　ｓｉｎｘ∈［

4、－ｃｃｏｓｘ＋ｄ的函数，都可以利用有界性法求值２，１］，域．∴　２ｓｉｎｘ＋４∈［３，６］，四、分离常数法∴12　原函数的值域为［３，６］．点评　对于形如ｙ＝ａ＋ｂｓｉｎｘ或ｙ＝ａ＋例５　求函数ｙ＝ｃｏｓｘ－１的值域．ｂｃｏｓｘ的函数，在某区间上的值域问题，可利用分析　可将原函数的解析式化为一个常单调性法求这个函数的值域．数与一个只有分母中含有未知数的分式的和三、有界性法的形式，然后用有关的知识求出值域．　　　　网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ　　　　　　　　　　　　　　　　·２５·电子邮箱：ｚ

5、ｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ思路与方法中学生数学·２高中）０１４年５月上·第４８９期（解　原函数解析式可化为思路与方法．ｙ＝１＋ｘ１－ｃｏｓ，当ｃｏｓｘ＝－１时，ｙｍｉｎ＝２∴　ｙ≥，２∴12　原函数的值域为］．２４２　点评　对于形如ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ，２２　　ａｃｏｓｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ或ｙ＝ａｔａｎｘ＋ｂｔａｎｘ＋ｃｙ＝（或可化为这三类）的函数，可用配方法来求值但要注意三角函数自身的取值范围．域，六、换元法的值域．例７　求函数ｙ＝１＋ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ分析　由于ｓ故本题可ｉ

6、ｎ２ｘ＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ，考虑到ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ与ｓｉｎｘｃｏｓｘ关系，即２（若设ｓｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）＝１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ，ｉｎｘ＋２，则有２从而将原函ｃｏｓｘ＝ｔｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ－１，数转化为关于ｔ的函数，容易求出最值．∴12　原函数的值域为，＋∞）．２或点评　对于形如ｙ＝ｙ＝ｃｓｉｎｘ＋ｄ的函数，可将其变形为ｙ＝ｋ＋ｃａｘ＋ｃｏｓｘ＋ｄｂ的形式，结合有关知识求出值域．五、配方法例６　求下列函数的值域：２　）（１ｃｏｓｘ＋５ｓｉｎｘ－４；ｙ＝２解　原函数解析式可化为．ｙ＝１＋ｓｉｎｘ＋ｃｏ

7、ｓｘ设　ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，则　－≤ｔ≤２２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ－１，２＝∴　ｔ－１．ｙ＝ｔ＋１２　（）２ｏｓｘ－ｓｉｎｘ，ｘ∈［－］．ｙ＝ｃ４４２ 12分析　利用二次函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ＋ｃ在闭区间［上求最值的方法解决．ｍ，ｎ］２　）解　（１ｃｏｓｘ＋５ｓｉｎｘ－４ｙ＝２２　ｘ＋５ｓｉｎｘ－２＝－２ｓｉｎ２，（＝－２ｓｉｎｘ－）＋４８］，当ｓ∵　ｓｉｎｘ∈［－１，１ｉｎｘ＝－１，即　ｘ＝－＋２时，ｋｋ∈ｚ）９，π（ｙｍｉｎ＝－２当ｓｉｎｘ＝１，即　ｘ＝＋２时，ｋｋ∈ｚ）１，π（ｙｍａｘ＝２］∴　原函数

8、的值域为［－９，１．２２　　（）２ｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝１－ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘｙ＝ｃ∵　－≤ｔ≤∴　－－１≤－１，ｙ≤］∴　原函数的值域为［－－１－１．点评　对于由ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘｃｏｓｘ同时构成的函数，可设ｔ＝ｓ把ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ，ｉｎｘｃｏｓｘ用ｔ表示出来，变成关于ｔ的函数，做题的过程中要注意变量ｔ的取值范围．七、辅助角法例８　求函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的值域．２２分析　借助辅助角化成ｙ＝＋ｂ２＝－（ｓｉｎｘ＋