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1、求函数值域常用的方法内容:函数是中学数学重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数等内容密切联系,应用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的。在研究函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用方法的,它不像定义域有一定可依据的法则和程序,因此要根据问题的不同特点,综合而灵活地运用各种方法求之。下面列举几种函数值域求解的常用方法。 关键词:函数;值域;方法 :G623.5:A 函数是中学数学重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数等内容
2、密切联系,应用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的。在研究函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用方法的,它不象定义域有一定可依据的法则和程序,因此要根据问题的不同特点,综合而灵活地运用各种方法求之。下面列举几种函数值域求解的常用方法。 一、观察法 对于一些简单函数,可通过对于函数定义域及对应法则的观察分析求值域。 例1:y=1-
3、x
4、 解:∵
5、x
6、≥0∴y≤1故所求的值域为(-∞,1〕 例2:求函数的值域 解:∵∴ ∴故值域为(-∞,1)∪(1
7、,+∞) 注:若观察出函数是单调函数,则可利用函数单调性求值域。 二、判别式法 用判别式求(a1,b1,c1,a2,b2,c2皆为常数,a1、a2不同时为零)型函数值域时分两种具体情况: 1.当分子与分母有公因式时,这时,可先约去公因式后再求值域,但须除去使公因式为零的x所对应的y值。 例3:求函数的值域 解:由 可知y≠1/2,同时因x≠2,故y≠3/2 ∴所求值域为{y
8、y∈R且y≠1/2,y≠3/2｝ 2.当分子与分母无公因式时,使用判别式求值域时,先转化为含参量y的一元二次方程,但要从判别式求出的结果中除去关于x的一元二次方程的二次项系数为零且又
9、使方程无实数解的y值。同时要注意弄准函数定义域,并要检验边界点能否达到,否则可能得到错解。 例4:求函数的值域 解:经检验分子、分母无公因式,把原式变形: (y-2)x2+(y-2)x+y-3=0① 显然y≠2(∵若y=2,则方程①为-1=0不成立,∴y≠2) ∵y∈R∴方程①有实根的充要条件 y≠2 {△=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,得2﹤y≤10/3 故所求值域为(2,10/3〕 三、配方法 适用于求二次函数和与二次函数有关的函数值域 例5:求函数y=x2+4x+3(X∈〔-1,0〕的值域 解:y=(x+2)2-1∵-1≤x≤0 ∴当x
10、=-1时,ymin=0,当x=0时,ymax=3 故所求值域为〔0,3〕 注:用配方法可求二次函数在指定区间上值域时,切勿直接套二次函数的最值公式,因为这时最值未必在顶点处取得。 例6:求函数y=sin2x+cosx+1=1-cos2x+cosx+1 =-cos2x+cosx+2=-(cosx-1/2)2+9/4 ∵-1≤cosx≤1当cosx=1/2时,ymax=9/4 当cosx=-1时,ymin=0 ∴y∈〔0,9/4〕 四、反函数法 利用反函数定义域求原函数值域 例7:求函数值域 解:∵函数的反函数为y=log2x/(1-x)且定义域为 (0,
11、1)故函数值域为y∈(0,1)。 五、换元法 1.形如y=ɑx+b±,(ɑ、b、c、d皆为常数,且ɑ、c不为零)。 例8:求函数y=2x-3+值域 解:由4x-13≥0得x∈〔13/4,+∞〕 令t=(t≥0)则x= 于是y=2-3+t=2/1(t+1)2+3≥7/2 即所求函数值域为〔7/2,+∞) 2.三角代换 3.如(ɑ,b,c,d均为常数,且ɑc≠0) ①ɑ>0,c0时,可由单调函数性质求出值域 ③ɑ>0,c>0,与④ɑ1,∴x-1>0) 上式当且仅当即x=3取等号,即y=log2μ≥2 故所求函数值域为〔2,+∞) 七、最值法 对闭区间
12、〔a,b〕上的连续函数,可求出y=f(x)在区间〔a,b〕内极值,并与边界值f(a)、f(b)作比较,求出函数最值,可得到函数值域 八、单调法 确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数值域。 九、数形结合法 画出函数图象,利用图象直观得出函数值域。 例11:求函数y=
13、x-3
14、-
15、x+1
16、值域 解:设y=
17、x-3
18、-
19、x+1
20、 -4(x≥3) =2-2x(-1≤x≤3) 4(x≤-1) 的图象如右图 故值域为〔-4,4〕 总之,在具体求某
