巧用换元法求无理函数值域应用问题探究

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1、巧用换元法求无理函数值域应用问题探究【摘要】换元法是用一种变量形式去取代另一种变量形式，从而把一个函数变为简单函数•本文对用代数换元法和三角换元法求三类无理函数的值域的应用问题作些探讨.【关键词】换元法；无理函数；分式无理函数；求值域的应用换元法是一种变量代换，其实质是用一种变量形式去取代另一种变量形式，从而把一个函数变为简单函数•所换新元的范围由原函数的定义域及所换元的表达式来确定.本文对用代数换元法和三角换元法求三类无理函数的值域作些探讨.一、形如"y=mx+n土ax+b”的函数点拨函数为根号内外自变量的次数相同的无理函数，一

2、般令t=ax+b,将原函数转化为t的二次函数.通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围.例1求函数f(x)3+2x+l的值域.解函数的定义域为x

3、x2-12.设t=2x+l,(t20),则x=t2-12,于是y=t2-12-3+t,当t=0时，即x=-12,ymin=-72.当+°°时，yf+8.所以，原函数的值域为yy^-72.二、形如^y=mx+n±ax2+bx+c(aO)”的函数点拨函数根号内外自变量X的次数不同，又aO,函数的定义域为闭区间[x1,x2],一般采用三角换元法求函数的值域.可令x=x2-

4、x12sina+x2+x12且ae-n2,n2,即原函数可化为y二Asin(a+4))+k型函数，可得出函数的值域.至于a>0且△>()及其他类型，可自己分析一下.例2求函数f(x)=2x-4-x2的值域.解令x二2cosa,(0

5、三、形如“y二max+b土ncx+d,(ac<0)”的函数点拨函数的两根号内自变量都是一次或都是二次，且ac<0,函数的定义域为闭区间，如[x1,x2],则可作代换，令x=(x2-x1)sin2a+x1,且a丘0,兀2,即原函数可化为尸Asin(a+4))型的函数，易得出函数的值域.例3已知函数f(x)二1-x+x+3的值域.解因为函数定义域为xW[-3,1],故1-xw[o,2],所以可设l-x=2cos0,x+3=2sin0,0£0,n2.所以y二2cos0+2sin0二22sin8+n4・因为0GO,兀2,0+ji4^n4,

6、3兀4.sin0+Ji4e22,1•所以2WyW22•故ymax二22,ymin=2・函数y二1-x+x+3的值域f(x)e[2,22].四、无理分式函数f(x)二p(x)q(x)求值域点拨根据函数表达式的结构特征选择适当的方法转化为求一个简单函数的值域•其基本思想方法是通过适当的换元，将其转化为我们熟知的函数后求值域.例4求函数y二x3(1+x2)3的值域.解xWR,令x二tana,aG-ji2,Ji2,则y二tan3a(1+tan2a)3=tan3asec6a=tan3asec3a=sin3a・因为aG-ji2,兀2,所以-l

7、