换元法求函数值域.docx

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1、精品文档换元法求函数值域某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。形如yaxbcxd(a、b、c、d均为常数，且a≠0)，可以令t=cxd(t0),则有t2cxd∴xt2d∴yat2dbt；从而就把原函数化cc成了关于t的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数t的取值范围。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。例1、求函数y3x13x的值域。分析：函数y3x13x形如yax

2、bcxd(a、b、c、d均为常数，且a≠0)，因此，可以考虑用换元法。解：令t13x(t0)，则t213x1t2∴x3∴原函数可化为y31t2t=t2t1=(t1)25324∴其函数图像如图1所示∴当t1时，即x1时245y取得最大值ymax=,无最小值。∴函数y3x13x的值域为（-∞，5]。4例2、求函数y4x12x3的值域。解：[换元法]令t2x3(t0)，则t23x2∴原函数可化为yt231t2t2t51)239422(t84。1欢迎下载精品文档∵t0∴当t0时，即x3时，y取得最小值ymin=5，无最大值。2∴函数y4

3、x12x3的值域为[5，+∞）。例3、求函数yx1x2的值域。[4]分析：函数yx1x2的定义域为[-1，1]，我们注意到1sint1(t),因此,对于定义域为[-1，1]的函数,我们可以考虑用22xsint(2t)进行三角换元。2解：函数yx1x2的定义域为[-1，1]，设xsint(t)，22则原函数yx1x2可化为ysintcost=2sin(t)4∵t∴t324442看图像（图2）可知2sin(t)124∴12sin(t)2∴1y24即原函数的值域为[-1，2]。。2欢迎下载精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业

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