已发用换元法求三类无理函数的值域

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1、用换元法求三类无理函数的值域大理州宾川县教育局教研室张辉（邮编671600邮箱bcxjys@126.com联系电话13987242186）换元是一种变量代换，其实质是用一种变量形式去取代另一种变量形式，从而把一个函数变为简单函数。本文用代数换元法和三角换元法求三类无理函数的值域作些探讨。一、形如“”的函数例1、求函数的值域.解：∵函数的定义域为｛

2、｝,令，则≥0于是，＝.当时，∈｛

3、

4、｝，,当＋∞时，y－∞.∴函数的值域是｛y∣－∞＜y≤｝例2、求函数的值域.解：∵函数的定义域为｛

5、｝,令，则≥0,于是，＝.当＝0时，∈｛

6、

7、｝，,当＋∞时，y－∞.∴函数的值域是｛y∣－∞＜y≤｝点评：当根号内外自变量的次数相同时，一般采用代数换元法求函数的值域。令，可将原函数转化为的二次函数，然后4求出函数的值域。此法当然也适用于形如“”的函数。例3、求函数的值域.解：∵函数的定义域为｛

8、∪｝,令(≥0)，则，.∴.当时，∈｛

9、∪｝，.当＋∞时，y＋∞.∴函数的值域是｛y∣≤y＜＋∞｝.二、形如“(＜0,＞0)”的函数例4、求函数的值域.解：∵函数的定义域为｛x∣｝，令且∴，由∈，得∴函数的值域是｛y∣－1≤y≤｝.例5、求函数的值域.解：∵函数的定义域为｛x

10、∣｝,令且.∴4由，得∴函数的值域是｛y∣－≤y≤1｝.例6、求函数的值域.解：∵函数的定义域为｛x∣｝,令且∴由，得∴函数的值域是｛y∣7－≤y≤9｝.点评：当根号外自变量的次数是一次，根号内自变量的次数是是二次，且，，函数的定义域为闭区间，一般采用三角换元法求函数的值域。可令且，原函数可化为型函数，可得出函数的值域。三、形如“(＜0)”的函数例7、求函数的值域。解：∵函数的定义域为｛x∣｝.令且，∴由，得.4∴函数的值域是｛y∣≤y≤2｝.例8、求函数的值域.解：∵函数的定义域为｛x∣｝.令且，∴＝＝，（其中）由，得，∴

11、.∴函数的值域是｛y∣｝.例9、求函数的值域.解：由于，所以不妨令，，则由，得，.所以函数的值域是｛y∣1≤y≤2｝.点评：当两根号内自变量都是一次（或都是二次），且时，函数的定义域为闭区间，可采用三角换元法。令，且，原函数可化为型的函数，易得出函数的值域。4