若干重要不等式的推广及应用　　文献综述

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1、文献综述若干重要不等式的推广及应用　　一、前言部分众所周知，不等式作为数学本身的一个组成部分以及一种重要的推理工具，被广泛地应用到数学的各个领域，尤其在分析学中，如偏微分方程、Sobolev空间等学科进行估值时，不等式的作用更是不可替代。不等式存在于数理科学的方方面面，无处不在。而其中一些不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式更在数学的理论基础理论的创建、延伸、和应用上起着非凡的作用，这使得不等式的研究成了当前数学研究的一个热点。在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这

2、片天地装点得更加丰富多彩。通过大量文献，我们可以归纳以下几个重要不等式。1．著名的Hadamard不等式可表述为：是连续凸函数，则。2．Abel不等式：设则等号当且仅当时成立。3．Janous不等式：设的边BC，CA，AB，与面积分别为a,b,c,,记任意一点P到顶点A，B，C的距离,分别为,则等号仅当为正三角形且P为其中心时成立。从大量文献中我们可以发现这些重要不等式几乎渗透到数学的各个领域而且处处扮演着精彩的角色，原因在于他们不仅能深刻地描述许多数学量之间的内在本质关系，得到所需要的结论，还能把许多已有的从不同方法得

3、来的不等式用一种统一的方法简便地推导出来，它们也是推广已有的不等式，发现新的不等式的一种强有力的工具，在其他各种应用性较强的学科或领域中的应用，更加显示了它迷人的魅力。我们无法想象没有Hadamard不等式、Abel不等式、Janous不等式以及其他一些不等式的数学将会是什么状况。在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，灵活应用这些不等式，可以使一些较为复杂的问题迎刃而解，一套数学理论甚至往往最终归结为一个不同寻常的不等式，但是在不同的场合，不同的问题上我们会发现这些不等式还存在一定的局限性，因此我们需要探讨这些重要不等

4、式还可以在哪些场合发挥他们的重要作用，是否还可以进一步的推广。一、主题部分众所周知，不等式理论在数学理论中占有重要地位，它渗透到数学的各个领域，因此有必要对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识。数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。目前，对不等式理论感兴趣的数学工作者边部世界各个国家。在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的时间，分别是Chebycheff在1882年发表的论文和1928年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲。Hardy，Littlewood和Pl

5、ay的著作Inequalities的前言中对不等式的哲学给出了有见地的见解；一般来讲初等的不等式应该有初等的证明，证明应该是“内在”的，而且应该给出等号成立的证明。A.M.Fink认为，人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式。Hardy认为，基本的不等式是初等的。自从著名数学家G.H.Hardy，J.E.Littlewood和G.Plya的著作Inequalities于1934年出版以来，数学不等式理论极其应用的研究正式粉墨登场，成为一门新兴数学学科，从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合，它已发展成为一套系统的

6、科学理论。20世纪70年代以来，国际上每四年在德国召开一次一般不等式国家学术会议，并出版专门的会议论文集。不等式理论也是2000年在意大利召开的第三界世界非线性分析学家大会的主题之一。2000年和2001年在韩国召开的第6届和第7届非线性泛涵分析和应用国际会议与2000年在我国大连理工大学召开的ISAAC都将数学不等式作为主要的议题安排在会议日程之中。20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。20世纪80年代杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮，在代数不等式方

7、面，王挽谰教授对Fanky不等式的深入研究达到国际领先水平。祁锋教授极其领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于1981年发表在《中国科学》上的论文《一个不等式极其若干应用》，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为“一个杰出的非凡的新的不等式”，现在称之为胡克不等式，胡克教授对这个不等式极其应用作出了系统而深刻的研究。历史上，华人数学家在不等式领域作出过重要贡献，包括华罗庚，林东坡，徐利治、王忠烈、王兴华等老一代数学家。最近几年我国

8、有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论极其应用的领域，他们在相关方面做出了独特的贡献，引起国内外同行的注意和重视。例如：王挽澜教授、石焕南教授、杨必成教授、杨国胜教授等。目前国内关于数学不等式理论极其应用的研究也有较丰富的成果。例如匡继昌的专著《常用不等式》一书由于供不应求，在短短的几年内已经出版了第2版，重印