线性微分方程（组）的求解及若干应用文献综述

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1、文献综述线性微分方程（组）的求解及若干应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）常微分方程是一个重要的数学分支，同时还作为了解决实际问题的一个重要数学工具．而本文所要讨论的线性微分方程（组）则是一类特殊的常微分方程．由于在很多微分方程求解的过程中，我们常常都会遇到一些困难，对于求解这类方程，一般情况下我们是把它转换成线性微分方程，这样便于求解．本文主要是研究线性微分方程（组）的求解及其若干应用．因此，我们有必要掌握线性微分方程（组）的一些基本概念．在学习常微分方程的基础上，我初步了解了线性方程解的结构．在查阅并整理各类相关资料的基础上，我更深一步地熟悉

2、了各种类型的方程，并且能够灵活、准确、迅速地选用相应的方法对其进行求解．然而，在应用线性微分方程求解实际数学问题时，对于简单的，大家就信心满满；而一旦遇到一些困难，复杂的，就不知道从哪里入手，因此我们常常会讨厌做这种题目，久而久之就会对它失去兴趣，其实很多时候都是有规律可循的．除了要掌握好线性微分方程（组）的基础知识外，本文对所学知识还进行了概括与总结，并运用相应的方法来求解方程．为了更简便的求解难题，本文将主要介绍不同形式的线性微分方程（组）的若干解法，并做出更好的归纳，利于提高我们的解题技巧与能力．常系数齐次线性微分方程组的解用特征根的求解方法，就有两种情况，即单根与重根，则其求解时有一定

3、差别的．有些变系数线性齐次方程（组），可以选择适当的变量替换为常系数线性齐次方程（组），从而可求得其通解．例如对于欧拉方程在自变量变换下，可化为常系数的方程．这里为常数，该方程的特点是的阶导数的系数是的次方乘以常数．因此，通过变量变换，把原方程化为常系数齐次微分方程的形式．　　二阶线性方程的概念：一般形式为.其中、、是的连续函数．称为其对应的二阶线性齐次方程．Banach空间上的隐式常微分方程：下面定义是实数域上或者是复数域上的Banach空间，是实数，是正实数．对于，，，，，，下面把表示成集合，而函数是定义在上，并且在数域上变化，因此，我们定义隐式常微分方程为凯莱-哈密尔顿定理：如果，那么其

4、特征多项式满足，在这里的就是零矩阵．二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）常微分方程诞生于运用数学分析方法解决物理与力学问题的过程中，它的发生发展史就是一部数学建模史．而线性微分方程又是一类特殊的常微分方程，它占据着重要的地位，许多类型的线性微分方程的发现都遵循着这样一个过程：1)在工程或自然科学研究中发现问题，提出问题；2)对实际问题进行分析，提炼出数学模型，建立目标函数的关系式(含有未知函数导数的关系式就是微分方程)，提出相应的定解条件；3)求这个方程的解析解或数值解,或对方程解的性态进行分析；4)用所得的结果来解释实际现象，或对问题的发展变化趋势进行

5、预测．这个过程就是数学建模过程．数学建模思想是线性微分方程发展史所反映出的最重要的数学思想．从17世纪末开始，对天体问题、摆的运动及弹性理论等问题的数学刻画引出一系列常微分方程．在天文学上，一般星体都是通过观察得到的，而海王星的发现却是个罕见的例外．牛顿研究天体运动的微分方程，从理论上得到行星运动的规律，而这些规律原来只是由开普勒通过观测归纳出的．而后1846年，法国巴黎天文台的勒威耶(Leverrier,1811～1877)在对这个微分方程进行数值分析计算的基础上，预言太阳系中还有第八颗行星的存在，并计算出了第八颗行星的位置，这之后人们按照他的计算结果通过观察才找到海王星．这一事实既推动了天

6、文学的发展，也促进了微分方程的发展．1690年雅各布·伯努利(JacobBernoulli,1654～1705)用简单的微分方程的方法解决了与钟摆运动有关的等时问题，以及悬链线问题．之后的雅各布·伯努利与约翰·伯努利兄弟还解决了许多类似的弹性问题，他们的工作推进了微分方程的发展．线性微分方程是在解决实际问题的过程中产生的，它的研究又促进了实际问题的解决，同时也促进其他学科的发展．线性微分方程在物理、工程、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域都有重要作用．如电子计算机与无线电装置的计算问题可归为微分方程求解;弹道计算与飞机飞行中的稳定性研究可归为线性微分方程的求解;化学反应中稳定性的研究

7、也可归为线性微分方程求解等等[1]．目前，线性微分方程的实际背景广、应用性强的特点已受到广泛关注．许多国外教材和国内新版教材已在书中明确强调这一点,并在教材中编入实际应用的例子，希望通过大量的实际问题突出数学的应用，引导学生建立线性常微分方程模型解决各种实际问题．在编写教材和教学的过程中有意识地渗透数学建模思想，一方面可以促使学生深刻领会数学建模思想、方法，逐渐掌握并在实践中应用这一思想，提高学生