文献综述(题目legendre小波在微分方程求解中的应用)

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1、Legendre小波在微分方程求解中的应用文献综述【内容摘要】：微分方程在自然科学的诸多领域中有广泛的应用，但想要得到其解析解则存在很大困难。因此，发展其数值方法是一个迫切需要解决的问题。本文主要首先介绍了Legendre小波与微分方程的概念相关概念，然后针对近年来小波方法在微分方程数值解屮的应用进行了详细阐述，并且给出了相应的例子。我们发现小波数值解法能将复杂的微分方程转化成代数方程组，从而使得微分方程的求解变得更简单，并且具有较高的精度。【关键词】：Legendre小波，微分方程，算子矩阵，数值解第一章导言Legendre

2、小波是通过Legendre多项式［1］的构造产生的一种正交小波。在以往的研宄中小波分析与微分方程的关系密切［21,很多数学家都研究过小波分析在微分方程屮的应用问题。在数学领域屮，小波分析是数值分析强有力的工具，它能简捷、有效地求解偏微分方程、积分方程以及最优控制等有关问题，亦能很好地求解线性问题和非线性问题，其中Galerkin方法就是传统求解微分方程和积分方程的有效手段。这种方法儿乎在任何线性分析的问题中都能达到一定的精度，在天线设计及电波传播的许多问题的计算中，都可用此方法进行求解。随着小波理论的出现，一种新型数值分析小波

3、伽辽金方法(Wavelet-Galerkinmethod)方法产生了，这是对Galerkin方法的改进和提高，通过利用小波的局部化特征，使得小波方法能精确分辨问题的解，同时可随着尺度的增大，收敛速度加快，从而更加有效地求解微分方程和积分方程，亦能很好地求解线性问题和非线性问题，与此同时也产生了小波有限元方法(Waveletfiniteelementmethod)，小波边界元方法(Waveletedgeelementmethod),极大地丰富丫数值分析方法的内容。1.1微分方程的基本概念现实世界中绝大多数事物的内外联系是极其复杂

4、的，其状态随着时间、地点、条件的不同而变化，我们往往只能通过对问题进行简化和做某些假定，从中找出其状态和状态的变化规律之间的相互关系，也即一个或一些函数与它们的导数之间的关系，这种关系的数学表达就是微分方程l3j。下而给出给出微分方程的基本概念：定义1.1.1［4］:一般来说，包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中，自变量的个数只有一个，称为常微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。定义1.1.2［4］:微分方程的解就是满足方程的函数。一般来说，n阶微分方程的解含有n个

5、任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种节叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。如果根据实际问题要求出其屮满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个微分方程的满足定解条件叫做特解。1.2微分方程数值解法简介［5］求解微分方程的传统数值方法主要有：有限差分法［6］、有限元法［7］和谱方法［8］。有限差分法和有限元法可以方便地解决复杂几何形状上的问题，而谱方法则只有更高的求解精度。如果方程的解是规则的，那么上述方法都很有效。然而许多物理现象的方程的解都存在奇异点和突变部分，

6、如可压缩气体流中的冲击波，湍流边界层处的突发作用等，这类现象通常表现为在很小区域内发生丫非常复杂的变化，而丑往往不具备吋间上的连续性。用以上方法求数值解都存在困难，如果借助小波分析的方法，我们可以将待求函数用一系列小波基函数表示，这些基函数在位置和尺度上都具有局部性质。与之相比较，谱方法中基函数无限可微，但它们的支撑集为全空间，不利于表示解的局部性质，有限差分法和有限元法中的基函数局部性好，但连续性不好。而小波方法可以同时具备较强的空间和频谱分析能力，有利于高效的得到高精度解。小波求解方程的实质就是将方程由原来的坐标系转化到小

7、波系下求解，充分利用方程在小波系数下的稀疏特性来简化计算，提高算法实现效率。另外，积分方程的小波数值解法也有两类，一类是将积分方程化为便于进行数值计算的苏他类型的问题，另一类是对解析解法做近似计算，这里就不做详细介绍。小波的优势是它兼只光滑性和局部紧支撑性质，从而能够比传统方法更好的处理局部存在奇异性的问题。自小波理论建立起就有研究者将小波用于奇异数值求解问题，充分利用小波的局部分析能力来缓解由奇异性带来的复杂处理。第二章Legendre小波简介Legendre小波是通过Legendre多项式111的构造产也的一种正交小波。在

8、区间［-1，1］上的0&脱点；^=0，1，...，/1)为零点且首项系数为1的/7+1次多项式，即/•=0为Legendre多项式。这里Legendre多项式的最简式表示为1dnTndxnIU2-ir],n=l，2,…Legendre多项式函数的阁像如下所示[5][9]。L