积分因子法在常微分方程中的应用文献综述

《积分因子法在常微分方程中的应用文献综述》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、文献综述积分因子法在常微分方程中的应用一、前言部分常微分方程的解在物理、生物、地理以及经济等各个学科领域中都有广泛而重要的应用.而常微分方程的解法是常微分方程的主要研究之一.例如,常数变易法、升降法、叠加法、积分因子法等等都是常微分方程的解法.本课题主要综述一些常用的求解方法.在此之前先介绍一些有关的概念：定义1：一般来讲,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.例如,都是微分方程.微分方程包括偏微分方程和常微分方程.定义2：由自变量,未知函数及其一阶偏导数组成的关系式(1.1)就是一阶偏微分方程．定义3：如果在微分方程中,自变量的个

2、数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程.例如,,都是常微分方程.定义4：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶数.阶常微分方程的一般形式是(1.2)这里,是的已知函数,并且其中必须含有.定义5：设函数在区间内,且有已知的到阶的各阶导数,使得在内成立,则称函数为方程的解.一般的,如果常微分方程的解中含有的独立的任意常数的个数与方程的阶数相等,则称这样的解为常微分方程的通解.满足初值条件的解称为特解.定义6：对称形式的一阶微分方程(1.3)如果存在一个可微函数,使得它的全微分为即它的偏导数为,则称为恰当方程或全微分方程.定义7：对一般的方程(1

3、.4)设法寻找一个可微的非零函数,使得用它乘方程后,所得方程为恰当方程,亦即.这时,函数叫做方程的一个积分因子.定义8：把非齐次线性微分方程(1.5)改写为如下对称形式(1.6)一般而言,不是恰当方程.但将积分因子乘方程两侧（其中）,得到方程它是全微分的形式，即由此可以直接进行积分,得到通积分这样就求出了方程的通解,是任意常数这样的求解微分方程的方法叫做积分因子法.因为在求解的过程中是用因子乘微分方程的两侧将其转化为全微分方程,从而求得了它的积分,所以称为积分因子法.在此我们主要综述了研究常微分方程的历史背景、常微分方程的相关概念、常微分方程的求解方法等.二、主题

4、部分常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究可分为以下几个阶段.发展初期是针对具体的常微分方程,希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”的时代.刘维尔在1841年证明了里卡蒂方程不存在一般的初等解,同时柯西又提出了初值问题.因此,早期的常微分方程的求解热潮中断了,而常微分方程从“求通解”时代转向“求定解”时代.19世纪末,常微分方程的研究从“求定解”时代转向“求所有解”的新时代.那是由天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态引起的.20世纪末六七十年代以后,常微分方程在计算机技术发展的促进下,从“求所有解”时代转入“求

5、特殊解”时代.常微分方程的研究还与其他学科或领域结合,出现了各种新的研究分支.众所周知,常微分方程是数学联系实际的主要桥梁之一,也是科学、工程和技术领域乃至经济和其他社会学科中应用十分广泛的重要数学工具.它是伴随着微积分学一起发展起来的.它的形成与发展和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展也密切相关,同时它继续推动着这些学科的发展.微分方程的兴起解决了一些需要专门技术求解的复杂的问题.常微分方程的概念、解法和其它理论有很多.比如,微分方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.这些都是常微分方程的特点.其中求常微分方程的通解在历史上曾

6、作为研究微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易求出问题所需要的特解；根据通解的表达式可以了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值,使它对应的解具有所需要的性能,也可以帮助解的其他研究.虽然通过求通解的方法可以求出方程的解,但是有些时候会比较复杂.因此,我们要寻找更为简便的求解方法.虽然常微分方程理论发展已经历几百年,但目前仍在发展中,而且保持着进一步发展的活力,它的根源深扎在各种实际问题之中.通过大量相关参考文献的阅读,发现许多作者重点研究了常数变易法、叠加法等。下面对这些文献进行综述：时宝和黄朝炎在文献[1]中介绍了微分方程的产生,用具体例子说明微分方程

7、的建立过程；并介绍了微分方程的概念以及它的解等相关的概念；还介绍了恰当方程与积分因子的理论,同时还举了一些简单的例子,便于读者理解.王高雄、周之铭、朱思明在文献[2]中介绍了常微分方程的发展历史,基本概念、相关的一些理论依据、解的定义以及求解的方法.钱祥征、黄立宏编在文献[3]中介绍了实际生活中的一些常微分方程,以及与常微分方程相关的一些基本概念和求解方法.丁同仁、李承治在文献[4]中介绍了微分方程及其解的定义以及几何解释,并介绍了一些求解方法.莫里斯·克莱因在文献[5]中介绍了一些古今的数学思想,而有关于微分方程的相关内容主要介绍了18世纪的常微分方程.冯艳青在

8、文献[6]