常微分方程积分因子问题综述

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1、目录第一章绪论………………………………………………………………………2第二章积分因子问题综述…………………………………………………………31积分因子的定义……………………………………………………………………32积分因子的存在条件………………………………………………………………43积分因子的形式……………………………………………………………………53.1一般教材给出的积分因子形式及其存在的充要条件……………………63.2其它特殊形式的积分因子…………………………………………………73.3一般结论：方程有特殊形式的积分因子的充要条件…94求解积分因子的一般方法

2、………………………………………………………104.1观察法……………………………………………………………………104.2分组法………………………………………………………………………114.3一种特殊积分因子的求法…………………………………………………135四种常见类型的一阶微分方程的积分因子解法………………………………155.1变量分离方程………………………………………………………………155.2齐次方程……………………………………………………………………155.3一阶线性方程………………………………………………………………175.4伯努利方程………………

3、…………………………………………………17参考文献…………………………………………………………………………18致谢……………………………………………………………………………19-19-常微分方程积分因子问题综述孟国明数学与信息学院数学与应用数学专业2004级指导教师：李中平摘　要：采用积分因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程的一个重要手段。本文首先介绍了积分因子的定义和存在条件等基本概念，使积分因子与求解微分方程之间建立了桥梁关系，也是引入积分因子的原因所在。鉴于积分因子的不唯一性和求解过程的复杂性，总结出几种特殊形式的积分因子以及其存在的

4、充要条件，并推导证明了一般形式积分因子存在的充要条件。分析求解微分方程过程中寻找积分因子的多种方法：观察法和分组法，对于一些特殊的微分方程特殊对待，而特殊形式的积分因子可以作为公式法求解积分因子，并通过实例验证这些方法的有效性。最后运用这些方法推导出四种常见的一阶微分方程的积分因子的一般形式，其形式简单、易行，融汇贯通所学知识。关键词：恰当方程；积分因子；通解；微分方程ODEintegralfactorSurveyMengGuomingCollegeofMathematicsandInformationMathematicsandAppliedMathem

5、atics,Grade2004Instructor:LiZhongpingAbstract：Itisanimportantmeanofusingtheintegratingfactormethodtosolvedifferentialequations,whichmakethefirst-orderdifferentialequationsbecomefull-differentialequations.Inthispaperwefirstintroducethedefinitionandtheconditionsonexistenceoftheinteg

6、ralfactorandsomebasicconcepts.Inordertomakesabridgebetweenthesolutionofthedifferentialequationsandintegralfactor,weintroducetheintegratingfactor.Inviewoftheintegralfactorisnotuniqueandthecomplexityofthesolvingprocess,wesummedupseveralspecialformsoftheintegralfactors,andgivethenece

7、ssaryandsufficientconditionontheexistence.Furthermore,wededucedthatthenecessaryandsufficientconditionfortheirexistenceofthe-19-generalform.Intheprocessofsolvingdifferentialequationswefindanumberofintegralfactorsolvingways:theobservationlawandthedivisionlaw,forsomespecialdifferenti

8、alequationswetreatthemspecially,a