【数学与应用数学专业】【毕业论文】积分因子法在常微分方程中的应用

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1、（　20　届）本科毕业论文积分因子法在常微分方程中的应用摘要：在众多的实际问题中，我们经常需要求解常微分方程．微分方程的求解方法有很多，如常数变易法，积分因子法等等．本文主要讨论如何利用积分因子法解微分方程，并对用积分因子法求解常微分方程的一些计算技巧进行了归纳总结．关键词：常微分方程；通解；积分因子法TheapplicationofintegratingfactormethodinordinarydifferentialequationAbstract：Inmanypracticalproblems,weoftenneedtosolveordinarydif

2、ferentialequation.Therearemanymethodsofsolvingdifferentialequations,suchasmethodofvariationofconstant,integratingfactormethodandsoon.Thisessayismainlytodiscusshowtoutilizeintegratingfactormethodtosolvedifferentialequationsandsummarizesomecalculatingtechniquesofthismethod.Keywords：or

3、dinarydifferentialequation;generalsolution;integratingfactormethod目录摘要0Abstract01引言12预备知识23积分因子的求法及其简单应用43.1观察法43.2重新组合法63.3分组凑微分法83.4指数待定法94用积分因子法解一阶常微分方程134.1可分离变量方程134.2齐次微分方程144.2.1只与有关的积分因子164.2.2与有关的积分因子184.2.3与有关的积分因子194.2.4与有关的积分因子204.2.5与有关的积分因子214.3一阶线性微分方程224.4贝努力（Bernoul

4、li）方程245用积分因子法解二阶常微分方程266积分因子法的一些应用30参考文献33311引言众所周知，微分方程有着广泛的应用背景．在许多科学领域中,常常需要求微分方程的解．微分方程的解法有很多种，例如，常数变易法、积分因子法等．常微分方程的研究可分为以下几个阶段：发展初期是针对具体的常微分方程,希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”的时代．刘维尔在1841年证明了里卡蒂方程不存在一般的初等解,同时柯西又提出了初值问题．因此,早期的常微分方程的求解热潮中断了,从而常微分方程的研究从“求通解”时代转向“求定解”时代．19世纪末,由天体力学中的太阳系

5、稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态,从而常微分方程的研究从“求定解”时代转向“求所有解”的新时代．20世纪末六七十年代以后,常微分方程在计算机技术发展的促进下,从“求所有解”时代转入“求特殊解”时代．求常微分方程的通解在历史上曾作为微分方程研究的主要目标，一旦求出通解的表达式，就能容易地求出问题所需要的特解；根据通解的表达式可以了解其对某些参数的依赖情况，便于参数取值，使它对应的解具有所需要的性能，也有助于解的其他研究．虽然通过求通解的方法可以求出方程的解，但是有些时候会比较复杂．因此，我们要寻找更为简便的求解方法．对常微分方程的求解，积分因子法是一种

6、很好的求解方法，它能将复杂的计算简单化．312预备知识定义1：一般来讲，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.定义2：如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程．定义3：对称形式的一阶微分方程(1.1)如果存在一个可微函数，使得它的全微分为(1.2)即它的偏导数为则称为恰当方程或全微分方程．定义4：对一般的方程(1.3)设法寻找一个可微的、非零函数，使得它乘方程后，所得方程成为恰当方程，亦即．这时，函数叫做方程的一个积分因子．定义5：对非齐次线性方程(1.4)改写为如下对称形式(1.5)31一般而言,不

7、是恰当方程.但将积分因子乘两侧（其中）,得到方程它的全微分形式是由此可以直接进行积分,得到通积分这样,就求出了方程的通解,是任意常数这样的求解微分方程的方法叫做积分因子法.因为在求解的过程是用因子乘微分方程的两侧将其转化为全微分方程,从而求得它的积分,所以称为积分因子法.定理1：方程是全微分方程的充要条件是．定理2：对于方程，当时，是其积分因子的充要条件是．313积分因子的求法及其简单应用对全微分方程我们已经得到了很多求解的方法，可很多微分方程并非是全微分方程．但是我们需要求解这些方程．通过研究，我们发现有些方程可以通过积分因子将其转化为全微分方程进行求解．为

8、了用积分因子法求解非全微分方程，必须对