椭圆型偏微分方程的求解及其应用文献综述

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1、文献综述椭圆型偏微分方程的求解及其应用一、前言部分微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。早在18世纪初，人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程，并开始探讨了它的解法。随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性。有了基本规律，人们还要利用这些

2、基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中的许多特定问题的解答。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也有可能计算出解得足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化（如天气预报）和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用[1]。许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，

3、称为偏微分方程[2]-[6]。在偏微分方程中，偏导数自然是不可缺少的。例如：（1.1.1）拉普拉斯方程（1.1.2）热传导方程（1.1.3）波动方程（1.1.4）等都是偏微分方程。其中，为未知数，为常数，、为已知函数。偏微分方程的一般形式为（1.1.5）其中：为已知函数；为自变量；是关于这些自变量的未知数。应注意中必须含有未知函数的偏导数。偏导数方程（1.1.5）中所含有偏导数的最高阶数为该偏微分方程的阶。如（1.1.1）是一阶偏微分方程，方程（1.1.2）~（1.1.4）是二阶偏微分方程。如果一个偏微分方程

4、对于未知函数及其所有偏导数都是线性的，则称之为线性偏微分方程，否则称为非线性方程。如（1.1.1）、（1.1.2）、（1.1.4）都是线性方程。我们将主要研究二阶线性偏微分方程，因为它们在物理、力学和其它自然科学以及工程技术中经常出现，常称为数学物理方程。个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为（1.1.6）不失一般性，可以假设，且，，及是空间中某区域内的函数，如果方程（1.1.6）中的自由项，则称方程为齐次方程，否则称为非齐次方程。设方程（1.1.5）的阶数为，函数在区域中具有阶连续偏导数，且代入方程（1.

5、1.5）后成为恒等式，则称为区域内方程(1.1.5)的一个解。容易验证函数，都是方程（1.1.7）的一个解。称方程（1.1.7）为二维拉普拉斯（Laplace）方程或二维调和方程。由复变函数理论知，任何一个解析函数的实部和虚部都是方程（1.1.7）的解。考察两个自变量的二阶线性偏微分方程，（1.1.8）其中，，，都是，的连续可微实值函数，并且，，不同时为零。在你一点的一个领域内考察自变量变换，.（1.1.9）假设它的Jacobi行列式，由隐函数存在定理知该变换是可逆的，即存在逆变换，。直接计算，有，，…将其代

6、入方程(1.1.8)，得，（1.2.0）其中，，，可以分别用，以及和的各阶偏导数表示。特别地，.（1.2.1）希望选取一个变换（1.1.9），使方程（1.2.0）有比方程（1.1.8）更简单的形式。注意到（1.2.1）式中的与有相同的形式，如果我们能够解出方程（1.2.2）的两个线性无关的解，，那么取，，就能保证。这样，（1.2.0）式就较（1.1.8）式大为化简。现在考察这种选取的可能性[7]。我们知道关于的一阶偏微分方程（1.2.2）的求解问题可以化为求下述常微分方程在平面上的积分曲线问题：.（1.2.3

7、）设是方程（1.2.3）的一族积分曲线，则就是方程（1.2.2）的一个解。称方程（1.2.3）的积分曲线为方程（1.1.8）的特征线，方程（1.2.3）有时亦称为特征方程。偏微分方程可根据它的数学特征分为三大类型，即抛物型、双曲型、椭圆型。这三类偏微分方程描述了不同本质的物理现象，其应用是极其广泛的[8]。我们可以看到，两个自变量的二阶线性方程通过自变量的可逆变换能够化成哪种标准形，要看二次型的代数性质如何让来定，或者说，由于平面上的二次曲线的性质而定。由于这个曲线可以是一个椭圆、一个双曲线或者一个抛物线，故

8、我们相应地定义方程在一点的类型如下：若方程（1.1.8）中二阶偏导数项的系数在区域中某点满足，则称方程在为双曲型的；若在点满足，则称方程在点为抛物型；若在点满足，则称方程在点为椭圆型的[1]。给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。对于偏微分方程也一样。换句话说，为了完全确定一个物理状态，只有相应的偏微分方程是不够的，必须给出它的初始状态和边界状态，即给出外加的特定条件，这种特定条件称为定解条件。描