椭圆型偏微分方程的求解及其应用开题报告

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1、开题报告椭圆型偏微分方程的求解及其应用一、选题的背景、意义早期建立的数学物理方程有根据牛顿引力理论而推导出的描述引力势的拉普拉斯方程和泊松方程。在连续介质力学中，从质量、动量、能量守恒定律出发，建立了流体力学中的纳维-斯托克斯方程组（有黏性）和欧拉方程组（无黏性）以及弹性力学中的圣维南方程组等。另外，像描述波的传播的波动方程；描述传热和扩散现象的热传导方程都是古典的数学物理方程。随着现代科学和技术的进步，将会不断涌现新的数学物理方程，而其产生和应用的范围已经并且更多地超出了传统的物理学、力学、天文学等领域。例如，在化学、生命科学、经济学等自然科学和社会科学各个领域，以及在资源勘探与开

2、发、大型建筑与水利工程、金属冶炼工程、通信工程、新能源开发、大气物理、气象预报、航天工程、医疗诊断与材料无损探伤、遗传工程等广泛的工程技术各个领域都涉及到数学物理方程的理论及其重要应用。许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程[1]-[6]。众所周知，偏微分方程可根据它的数学特征分为三大类型，即抛物型、双曲型、椭圆型。这三类偏微分方程描述了不同本质的物理现象，其应用是极其广泛的。对于理论研究和实际应

3、用问题中提出的许多偏微分方程，由于其边界和边界条件复杂等原因，寻求解的解析表达式相当困难，有时甚至是不可能的，所以必须利用计算机研究偏微分方程的数值解。简而言之，这种研究的任务在实用中主要表现于两个方面。一是关于用有效地数值方法离散偏微分方程及其边界条件。对此，差分法和有限元法是目前被普遍认为行之有效的两类主要的数值方法。二是关于高效率高精度求解离散微分方程。对此，解同样的离散微分方程，采用好的算法与采用一般算法的计算效果往往相差很大，采用好的算法不但能使求解过程数值稳定、数值解的精度得到提高，而且能数十倍、数百倍地节省计算工作量[7]-[10]。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

4、基本内容：掌握椭圆型偏微分方程的概念及在实际中的重要意义，并会判断偏微分方程的类型，若是椭圆型偏微分方程需要满足什么条件；深入讨论椭圆型偏微分方程定解问题的求解方法。主要问题：讨论椭圆型偏微分方程定解问题的几种求解方法（分离变量法、积分变换法、差分法）以及其在实际中的应用。一、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标研究方法：通过大量文献来学习椭圆型偏微分方程相关内容，归纳总结出椭圆型偏微分方程的几种基本解法；然后通过自己的思考，提出自己的一些观点以及要意识到椭圆型偏微分方程在实际中应用的重要性。研究难点：对椭圆型偏微分方程定解问题的求解及其应用，要有一定的常微分和数学基础，有

5、较强的分析与总结能力。预期达到的目标：掌握求解椭圆形偏微分方程的一种或几种解法，会在相应的实际问题中建立椭圆型偏微分方程的模型并会求解。二、论文详细工作进度和安排第7学期第9周（2010年11月5号）至第7学期第19周（2011年1月10号）：完成毕业论文文献检索、文献综述、外文文献翻译及开题报告。第7学期第19周（2011年1月10号）至第8学期第3周（2011年3月11号）：完成毕业论文的数据收集、论文初稿。第8学期第3周（2011年3月11号）至第8学期第11周（2011年5月3号）：1、进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改。2、第11周（2011年5月3日）前必须返校，完

6、成毕业实习返校，并递交毕业实习报告，进一步完善毕业论文。第8学期第14周（2011年5月23号2011年5月28号：完成第一轮毕业论文答辩。第8学期第15周（2011年5月28号2011年6月3号）：第一轮毕业论文答辩未通过的学生完成第二轮毕业论文答辩，并随机抽取部分完成较好地毕业论文进行校级答辩。一、主要参考文献：[1]谢鸿政，杨枫林.数学物理方程[M].北京：科学出版社，2001.[2]谷超豪，李大潜，陈恕行，郑宋穆，谭永基.数学物理方程[M].北京：高等教育出版社,2002.7.[3]王明新.数学物理方程[M].北京：清华大学出版社，2005.8.[4]查中伟.数学物理偏微分方

7、程[M].成都：西南交通大学出版社，2005.2.[5]O.A.奥列尼克著，郭思旭译.偏微分方程讲义（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2008.[6]谢鸿政.EquationsofClassicalMathematicalPhysics[M].北京：科学出版社，2006.[7]陆金甫，关治.偏微分方程数值解法（第二版）[M].北京：清华大学出版社，2004.[8]徐长发，李红.偏微分方程数值解法[M].武汉：华中科技大学出版社，2000.9.[9]黄