椭圆型偏微分方程实验报告

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1、实验报告实验项目名称椭圆型偏微分方程实　验　室数学实验室　所属课程名称微分方程数值方法实验类型算法设计实验日期2014年6月6日班级学号姓名成绩实验概述：【实验目的及要求】实验目的是通过分析Possion问题并用交替迭代法来求解其次边值问题，进一步了解交替迭代法的算法特点——即在矩形区域上的差分格式可以大大降低计算量。实验要求是利用Peaceman-Rachford迭代格式编写出相应的代码解决Possion问题。【实验原理】对于简单的椭圆型偏微分方程Poission方程:采用正方形网格剖分正方形区域Ω,对x和y方向采用中心差分并记则对Poiss

2、ion方程离散后差分格式可写成;改写为由此得Peaceman-Rachford迭代格式为其分量形式为将以上两步写成矩阵形式，第一步迭代为：第二步迭代为：这里的gij和gij分别为迭代参数可取为：实际上每个迭代步相当于解N−1个系数矩阵为三对角阵的N−1阶线性代数方程组，可用追赶法求解。【实验环境】（使用的软硬件）软件：MATLAB2012a硬件：电脑型号：联想Lenovo昭阳E46A笔记本电脑操作系统：Windows8专业版处理器：Intel（R）Core（TM）i3CPUM350@2.27GHz2.27GHz实验内容：【实验方案设计】利用Pe

3、aceman-Rachford迭代格式求解求解域Ω:0≤x,y≤1,其精确解为u=sinπxsinπy。首先利用上述原理进行分析，从而利用Matlab软件编写出相应程序。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）我们首先编写一个m文件，包含交替方向迭代法程序如下:functionu=alter(a0,b0,f,h)%输入-a0为x,y方向起始端点;%-b0为x,y方向终点;%-f为方程右端函数;%-h为网格步长;%输出-u为解矩阵。p=200;N=fix((b0-a0)/h);u=zeros(N+1);v=zeros(N+1);g=zeros(

4、N+1);x=a0:h:b0;y=x;tau=h*h/(2*sin(pi*h));a=-tau*ones(1,N-2);c=a;d=(h*h+2*tau)*ones(1,N-1);fork=1:perr=0;fori=2:Nforj=2:Ng(i,j)=(h*h-2*tau)*u(i,j)+tau*(u(i,j+1)+u(i,j-1)+h*h*f(x(i),y(j)));endv(2:N,i)=trisys(a,d,c,g(2:N,i))';endfori=2:Nforj=2:Ng(i,j)=(h*h-2*tau)*v(i,j)+tau*(v(

5、i+1,j)+v(i-1,j)+h*h*f(x(i),y(j)));t=abs(u(i,j)-v(i,j));if(err

6、:b0;y1=a0:h:b0;surf(x1,y1,u)运行结果如下所示：err=6.4665e-05k=9将步长缩小为h=0.1,迭代残差为10-4。然后在CommandWindow里编写如下程序：f=inline('2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)','x','y');a0=0;b0=1;h=0.1;u=alter(a0,b0,f,h);x1=a0:h:b0;y1=a0:h:b0;surf(x1,y1,u)运行结果如下所示：err=7.3408e-05k=19【结论】（结果）本次实验通过采用了不同的步长对同一迭代方法——PR

7、迭代格式进行比较，发现通过缩小步长,使得计算结果大大改善。【小结】交替方向迭代法的出现源于求解抛物型方程的交替方向隐格式，它的最大有点是容易实现，几乎不许要在计算机程序上耗费很多精力，只是它仅仅适用于矩形区域或它们的并集。该方法计算量较小，速度较快，适合利用计算机编程来解决问题。指导教师评语及成绩：成绩：指导教师签名：批阅日期：